O número de divisores inteiros e positivos do número 2020² - 2019²

Passo 1

Então, pessoal, o exercício que a gente tem aqui pede para encontrar o número de divisores inteiros e positivos do número 2020^2 - 2019^2. O conteúdo envolvido nesse problema é o de Álgebra, mais especificamente, a fatoração de expressões algébricas e a determinação do número de divisores a partir da fatoração prima. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a fórmula da diferença de quadrados e saber como fatorar um número em seus fatores primos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 2020^2 - 2019^2. Para isso, vamos usar a fórmula da diferença de quadrados, que diz que:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Aplicando isso aqui, temos:
2020^2 - 2019^2 = (2020 - 2019)(2020 + 2019)

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças e somas dentro dos parênteses:
2020 - 2019 = 1
2020 + 2019 = 4039
Portanto:
2020^2 - 2019^2 = 1 times 4039 = 4039

Passo 4

Então, precisamos encontrar o número de divisores inteiros e positivos de 4039. Para isso, vamos fatorar 4039 em números primos.

Passo 5

Vamos verificar se 4039 é um número primo. Testamos divisores primos até a raiz quadrada de 4039. A raiz quadrada de 4039 é aproximadamente 63.55, então precisamos testar os primos até 61.
Primeiro, verificamos divisibilidade por 2: 4039 é ímpar, não divisível por 2.
Dividindo por 3: 4039 ÷ 3 ≈ 1346.33, não é inteiro.
Dividindo por 5: termina com 9, não divisível por 5.
Dividindo por 7: 4039 ÷ 7 ≈ 577, não é inteiro.
Dividindo por 11: 4039 ÷ 11 ≈ 367.18, não é inteiro.
Dividindo por 13: 4039 ÷ 13 ≈ 310.69, não é inteiro.
Dividindo por 17: 4039 ÷ 17 ≈ 237.59, não é inteiro.
Dividindo por 19: 4039 ÷ 19 ≈ 212.58, não é inteiro.
Dividindo por 23: 4039 ÷ 23 ≈ 175.61, não é inteiro.
Dividindo por 29: 4039 ÷ 29 ≈ 139.28, não é inteiro.
Dividindo por 31: 4039 ÷ 31 ≈ 130.29, não é inteiro.
Dividindo por 37: 4039 ÷ 37 ≈ 109.16, não é inteiro.
Dividindo por 41: 4039 ÷ 41 ≈ 98.51, não é inteiro.
Dividindo por 43: 4039 ÷ 43 ≈ 93.93, não é inteiro.
Dividindo por 47: 4039 ÷ 47 ≈ 85.93, não é inteiro.
Dividindo por 53: 4039 ÷ 53 ≈ 76.28, não é inteiro.
Dividindo por 59: 4039 ÷ 59 ≈ 68.44, não é inteiro.
Dividindo por 61: 4039 ÷ 61 ≈ 66.21, não é inteiro.

Passo 6

Como nenhum dos primos testados divide 4039 de forma exata, concluímos que 4039 é um número primo.

Passo 7

Agora que sabemos que 4039 é primo, a fatoração prima de 4039 é ele mesmo:
4039 = 4039^1
Para encontrar o número de divisores, usamos a fórmula: se a fatoração prima de um número é p1^k1 times p2^k2 times dots times pn^kn, então o número de divisores é (k1 + 1)(k2 + 1) dots (kn + 1).

Passo 8

Aplicando a fórmula:
Número de divisores = (1 + 1) = 2 ú

Resposta

O número 2020^2 - 2019^2 tem 2 divisores inteiros e positivos.

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