O número de divisores inteiros e positivos do número 2020² - 2019²
Passo 1
Então, pessoal, o exercício que a gente tem aqui pede para encontrar o número de divisores inteiros e positivos do número
. O conteúdo envolvido nesse problema é o de Álgebra, mais especificamente, a fatoração de expressões algébricas e a determinação do número de divisores a partir da fatoração prima. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a fórmula da diferença de quadrados e saber como fatorar um número em seus fatores primos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Para isso, vamos usar a fórmula da diferença de quadrados, que diz que:
Aplicando isso aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as diferenças e somas dentro dos parênteses:
Portanto:
Passo 4
Então, precisamos encontrar o número de divisores inteiros e positivos de 4039. Para isso, vamos fatorar 4039 em números primos.
Passo 5
Vamos verificar se 4039 é um número primo. Testamos divisores primos até a raiz quadrada de 4039. A raiz quadrada de 4039 é aproximadamente 63.55, então precisamos testar os primos até 61.
Primeiro, verificamos divisibilidade por 2: 4039 é ímpar, não divisível por 2.
Dividindo por 3:
, não é inteiro.
Dividindo por 5: termina com 9, não divisível por 5.
Dividindo por 7:
, não é inteiro.
Dividindo por 11:
, não é inteiro.
Dividindo por 13:
, não é inteiro.
Dividindo por 17:
, não é inteiro.
Dividindo por 19:
, não é inteiro.
Dividindo por 23:
, não é inteiro.
Dividindo por 29:
, não é inteiro.
Dividindo por 31:
, não é inteiro.
Dividindo por 37:
, não é inteiro.
Dividindo por 41:
, não é inteiro.
Dividindo por 43:
, não é inteiro.
Dividindo por 47:
, não é inteiro.
Dividindo por 53:
, não é inteiro.
Dividindo por 59:
, não é inteiro.
Dividindo por 61:
, não é inteiro.
Passo 6
Como nenhum dos primos testados divide 4039 de forma exata, concluímos que 4039 é um número primo.
Passo 7
Agora que sabemos que 4039 é primo, a fatoração prima de 4039 é ele mesmo:
Para encontrar o número de divisores, usamos a fórmula: se a fatoração prima de um número é
, então o número de divisores é
.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Resposta
O número
tem 2 divisores inteiros e positivos.