Um número elevado a infinito é uma indeterminação?

Passo 1

Então, o exercício que temos é: “Um número elevado a infinito é uma indeterminação?” Vamos explorar esse conceito dentro do estudo de limites matemáticos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função crescer infinitamente e o que são formas indeterminadas em limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando elevamos um número a uma potência muito grande, ou seja, ao infinito. Consideremos um número $ a $ elevado a $ \infty $, representado por $ a^{\infty} $.

Passo 3

O resultado de $ a^{\infty} $ depende do valor de $ a $:
  • Se $ a > 1 $, então $ a^{\infty} = \infty $. Isso porque números maiores que 1, quando multiplicados por si mesmos muitas vezes, crescem sem limites.
  • Se $ 0 < a < 1 $, então $ a^{\infty} = 0 $. Aqui, números entre 0 e 1 diminuem cada vez mais quando elevados a potências maiores.
  • Se $ a = 1 $, então $ a^{\infty} = 1 $, pois qualquer potência de 1 é sempre 1.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre formas indeterminadas. Em cálculo, uma forma indeterminada ocorre quando o limite de uma expressão não pode ser determinado apenas pelo comportamento das partes individuais. Exemplos clássicos são $ 0/0 $ ou $ \infty - \infty $.

Passo 5

No caso de $ a^{\infty} $, quando $ a $ é uma constante fixa diferente de 1, o resultado não é uma forma indeterminada porque podemos determinar claramente para cada intervalo de $ a $. No entanto, se estamos lidando com limites onde $ a $ pode se aproximar de 1 enquanto a potência tende ao infinito, então a expressão $ a^{\infty} $ se torna uma forma indeterminada do tipo $ 1^{\infty} $.

Passo 6

Portanto, quando falamos de $ a^{\infty} $ com $ a $ constante, geralmente não é uma indeterminação, a menos que $ a $ esteja se aproximando de 1 ao mesmo tempo que a potência tende ao infinito.

Resposta

Não, um número constante diferente de 1 elevado a infinito não é uma indeterminação. Apenas casos onde a base se aproxima de 1 enquanto a potência tende ao infinito resultam em uma forma indeterminada 1^infty.

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