Um número é escolhido ao acaso no conjunto
. Verificar se são independentes os eventos:
(b) C: o número é primo; D: o número é ímpar.
(b) C: o número é primo; D: o número é ímpar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa verificar se dois eventos são independentes quando escolhemos um número de 1 a 20. Os eventos são:
- C: o número escolhido é primo;
- D: o número escolhido é ímpar.
Vamos usar conceitos de probabilidade para ver se eles são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Matematicamente, isso é representado por:
Ou seja, a probabilidade de ambos os eventos acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades de cada evento acontecer individualmente.
Passo 3
Vamos identificar todos os números de 1 a 20 que são primos. Números primos são aqueles que têm exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo.
Os números primos entre 1 e 20 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Então, temos 8 números primos.
Logo, a probabilidade de escolhermos um número primo (P©) é:
Passo 4
Agora, vamos identificar os números ímpares de 1 a 20. Números ímpares são aqueles que não são divisíveis por 2.
Os números ímpares entre 1 e 20 são: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Totalizando 10 números ímpares.
Então, a probabilidade de escolhermos um número ímpar (P(D)) é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a probabilidade de escolhermos um número que seja primo e ímpar ao mesmo tempo (P(C ∩ D)).
Observando a lista de números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19), percebemos que todos são ímpares, exceto o número 2, que é par.
Então, temos 7 números que são simultaneamente primos e ímpares: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos verificar se P(C ∩ D) é igual a P© × P(D):
Comparando com P(C ∩ D) = \frac{7}{20}, vemos que:
Resposta
Não, os eventos C e D não são independentes, pois
.
Exercícios relacionados
(Johnson e Bhattacharyya, 2019) Segue abaixo os tipos sanguíneos de quarenta voluntários que doaram para um banco de sangue.
O | O | A | B | A | O | A | A |
---|---|---|---|---|---|---|---|
A | O | B | O | B | O | O | A |
O | O | A | A | A | A | AB | A |
B | A | A | O | O | A | O | O |
A | A | A | O | A | O | O | AB |
(d) Esboço o gráfico de barras.
(Johnson e Bhattacharyya, 2019) Segue abaixo os tipos sanguíneos de quarenta voluntários que doaram para um banco de sangue.
O | O | A | B | A | O | A | A |
---|---|---|---|---|---|---|---|
A | O | B | O | B | O | O | A |
O | O | A | A | A | A | AB | A |
B | A | A | O | O | A | O | O |
A | A | A | O | A | O | O | AB |
(a) Qual é o tipo dessa variável?
Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte informação:
Homens | Mulheres | |
---|---|---|
Menores | 5 | 3 |
Adultos | 5 | 2 |
Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se:
(b) Qual é a probabilidade de ser menor ou mulher?
(b) Qual é a probabilidade de ser menor ou mulher?
Sejam
.
(a) Demonstre que é o mínimo da função (DICA: Utilize métodos de cálculo I)
(a) Demonstre que