Um número é escolhido ao acaso no conjunto 1,2,3, ldots, 19,20. Verificar se são independentes os eventos:
(b) C: o número é primo; D: o número é ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa verificar se dois eventos são independentes quando escolhemos um número de 1 a 20. Os eventos são:
  • C: o número escolhido é primo;
  • D: o número escolhido é ímpar.
Vamos usar conceitos de probabilidade para ver se eles são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Matematicamente, isso é representado por:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Ou seja, a probabilidade de ambos os eventos acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades de cada evento acontecer individualmente.

Passo 3

Vamos identificar todos os números de 1 a 20 que são primos. Números primos são aqueles que têm exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo.
Os números primos entre 1 e 20 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Então, temos 8 números primos.
Logo, a probabilidade de escolhermos um número primo () é:
P(C) = número de primostotal de números = 820 = 25 úú

Passo 4

Agora, vamos identificar os números ímpares de 1 a 20. Números ímpares são aqueles que não são divisíveis por 2.
Os números ímpares entre 1 e 20 são: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Totalizando 10 números ímpares.
Então, a probabilidade de escolhermos um número ímpar (P(D)) é:
P(D) = número de ímparestotal de números = 1020 = 12 úíú

Passo 5

Agora, vamos encontrar a probabilidade de escolhermos um número que seja primo e ímpar ao mesmo tempo (P(C ∩ D)).
Observando a lista de números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19), percebemos que todos são ímpares, exceto o número 2, que é par.
Então, temos 7 números que são simultaneamente primos e ímpares: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Portanto,
P(C cap D) = 720

Passo 6

Agora, vamos verificar se P(C ∩ D) é igual a P© × P(D):
P(C) times P(D) = 25 times 12 = 210 = 15 = 420
Comparando com P(C ∩ D) = \frac{7}{20}, vemos que:
720 neq 420

Resposta

Não, os eventos C e D não são independentes, pois .

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