Sejam xi in R forall i in1, ldots, n.
(a) Demonstre que barx é o mínimo da função (DICA: Utilize métodos de cálculo I)
f(a)=sumi=1^n(xi-a)^2n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo I que pede para mostrar que a média f(a) = sumi=1^n(xi - a)^2n é o mínimo de uma função específica. A função que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo para encontrar o valor de que minimiza essa função. Basicamente, vamos descobrir por que a média dos valores é o ponto onde essa função atinge seu menor valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. Ela calcula a média dos quadrados das diferenças entre cada valor e um número . Nosso objetivo é encontrar o valor de que torna essa média o menor possível.

Passo 3

Para encontrar o mínimo dessa função, vamos usar o conceito de derivada. A derivada de uma função nos diz a inclinação dela em qualquer ponto. Quando a derivada é zero, a função está no seu ponto mais baixo ou mais alto, ou seja, um mínimo ou um máximo.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de f'(a) = dda ( 1n sumi=1^n (xi - a)^2 ) = 2n sumi=1^n (a - xi) em relação a . Usando regras de derivação, temos:

Passo 5

Agora, para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
f'(a) = 2n sumi=1^n (a - xi) = 0
Multiplicando ambos os lados por sumi=1^n (a - xi) = 0 :

Passo 6

Distribuindo a soma:
a cdot n - sumi=1^n xi = 0
Isolando a = sumi=1^n xin :

Passo 7

A expressão é justamente a definição da média . Portanto, mostramos que o valor de que minimiza a função é a média dos valores .

Resposta

A média é o valor que minimiza a função .

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