Sejam .
(a) Demonstre que é o mínimo da função (DICA: Utilize métodos de cálculo I)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo I que pede para mostrar que a média é o mínimo de uma função específica. A função que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo para encontrar o valor de que minimiza essa função. Basicamente, vamos descobrir por que a média dos valores é o ponto onde essa função atinge seu menor valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. Ela calcula a média dos quadrados das diferenças entre cada valor e um número . Nosso objetivo é encontrar o valor de que torna essa média o menor possível.

Passo 3

Para encontrar o mínimo dessa função, vamos usar o conceito de derivada. A derivada de uma função nos diz a inclinação dela em qualquer ponto. Quando a derivada é zero, a função está no seu ponto mais baixo ou mais alto, ou seja, um mínimo ou um máximo.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a . Usando regras de derivação, temos:

Passo 5

Agora, para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Distribuindo a soma:
Isolando :

Passo 7

A expressão é justamente a definição da média . Portanto, mostramos que o valor de que minimiza a função é a média dos valores .

Resposta

A média é o valor que minimiza a função .

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0 223
1 034556688
2 012234556799
3 026
4 245568
5 289
6 115668
7 58
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