Sejam
.
(a) Demonstre que
é o mínimo da função (DICA: Utilize métodos de cálculo I)
(a) Demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo I que pede para mostrar que a média
é o mínimo de uma função específica. A função que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo para encontrar o valor de
que minimiza essa função. Basicamente, vamos descobrir por que a média dos valores
é o ponto onde essa função atinge seu menor valor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
representa. Ela calcula a média dos quadrados das diferenças entre cada valor
e um número
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que torna essa média o menor possível.
Passo 3
Para encontrar o mínimo dessa função, vamos usar o conceito de derivada. A derivada de uma função nos diz a inclinação dela em qualquer ponto. Quando a derivada é zero, a função está no seu ponto mais baixo ou mais alto, ou seja, um mínimo ou um máximo.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usando regras de derivação, temos:
Passo 5
Agora, para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Distribuindo a soma:
Isolando
:
Passo 7
A expressão
é justamente a definição da média
. Portanto, mostramos que o valor de
que minimiza a função
é a média dos valores
.
Resposta
A média
é o valor que minimiza a função
.