O número médio de chamadas que entre as 14 e as 20 horas afluem a uma central telefónica é de 10 por hora. Admitindo que o número de chamadas que afluem à central telefónica é um processo de Poisson, determine a probabilidade de, no período compreendido entre as 14 e as 16 horas, se registarem
(a) menos de 14 chamadas;
(b) exatamente 20 chamadas.
(a) menos de 14 chamadas;
(b) exatamente 20 chamadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o número médio de chamadas que chegam a uma central telefônica entre as 14 e as 20 horas, que é de 10 por hora. A gente vai usar o conceito de Distribuição de Poisson, que é ótima para modelar eventos que acontecem de forma independente em um certo intervalo de tempo. Precisamos calcular a probabilidade de receber menos de 14 chamadas e exatamente 20 chamadas no período das 14 às 16 horas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que entre as 14 e as 16 horas são 2 horas. Como a taxa média de chamadas é de 10 por hora, para 2 horas teremos uma taxa total (
) de:
Passo 3
A Distribuição de Poisson é dada pela fórmula:
onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos,
- $ \lambda $ é a taxa média de ocorrências,
- $ e $ é a constante de Euler (aproximadamente 2,71828),
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 4
Para a parte (a), queremos a probabilidade de receber menos de 14 chamadas, ou seja, $ P(X < 14) $. Isso significa somar as probabilidades de 0 até 13 chamadas:
Passo 5
Para calcular isso, geralmente usamos uma calculadora ou software que suporte a distribuição de Poisson, mas a ideia é somar todas essas probabilidades individuais até $ k = 13 $.
Passo 6
Na parte (b), queremos a probabilidade de receber exatamente 20 chamadas, ou seja, $ P(X = 20) $. Usamos a fórmula de Poisson diretamente:
Resposta
A probabilidade de receber menos de 14 chamadas entre as 14 e as 16 horas é aproximadamente 0,064 e a probabilidade de receber exatamente 20 chamadas nesse período é aproximadamente 0,088.