(*) Numa certa população uma em cada oito crianças tem um nível de chumbo no sangue superior a 30 mu g / dl, classificado pelas autoridades de saúde como nível elevado.
Num grupo de 16 crianças escolhidas aleatoriamente nessa população qual é a probabilidade de:
(a) exatamente duas delas terem nível elevado de chumbo no sangue?
(b) nenhuma delas ter nível elevado de chumbo no sangue?
© três ou mais terem nível elevado de chumbo no sangue?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma população onde 1 em cada 8 crianças tem um nível de chumbo no sangue acima de 30 , mu g/dl. Vamos trabalhar com um grupo de 16 crianças escolhidas aleatoriamente dessa população. A gente precisa calcular as probabilidades de:
(a) Exatamente 2 delas terem nível elevado de chumbo.
(b) Nenhuma delas ter nível elevado de chumbo.
© Três ou mais terem nível elevado de chumbo no sangue.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é útil quando temos uma sequência de ensaios independentes (como escolher crianças) com apenas dois resultados possíveis: “sucesso” (ter nível elevado de chumbo) ou “fracasso” (não ter nível elevado).

Passo 2

Primeiro, vamos definir os parâmetros da distribuição binomial:
  • n = número total de ensaios (neste caso, 16 crianças).
  • p = probabilidade de sucesso em um único ensaio (probabilidade de uma criança ter nível elevado de chumbo), que é $ \frac{1}{8} $ ou 0,125.
  • q = probabilidade de fracasso, que é $ 1 - p = 0,875 $.
A fórmula da probabilidade binomial é:
18
Onde $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n ensaios.

Passo 3

Vamos resolver a parte (a): a probabilidade de exatamente 2 crianças terem nível elevado de chumbo.
Aplicando a fórmula:
P(2) = binom162 (0.125)^2 (0.875)^14
Calculando o coeficiente binomial $ \binom{16}{2} $:
binom162
Agora, substituindo na fórmula:
binom162 = 16!2!(16-2)! = 16 times 152 times 1 = 120
Vamos calcular cada parte:
P(2) = 120 times (0.125)^2 times (0.875)^14
(0.125)^2 = 0.015625
Multiplicando tudo:
(0.875)^14 approx 0.1335

Passo 4

Agora, a parte (b): a probabilidade de nenhuma das 16 crianças ter nível elevado de chumbo.
Aqui, queremos $ k = 0 $.
Aplicando a fórmula:
k = 0
Sabemos que $ \binom{16}{0} = 1 $ e $ (0.125)^{0} = 1 $.
Então:
P(0) = binom160 (0.125)^0 (0.875)^16

Passo 5

Por fim, a parte ©: a probabilidade de três ou mais crianças terem nível elevado de chumbo.
Para isso, é mais fácil calcular o complemento, ou seja, a probabilidade de ter menos de 3 crianças com nível elevado, e subtrair de 1.
Então:
P(≥3) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)]
Já calculamos $ P(0) $ e $ P(2) $, agora vamos calcular $ P(1) $:
P(0)
P(2)
P(1)
P(1) = binom161 (0.125)^1 (0.875)^15
binom161 = 16
Agora, somando $ P(0) + P(1) + P(2) $:
(0.125)^1 = 0.125
Então:
(0.875)^15 approx 0.136

Resposta

(a) A probabilidade de exatamente duas crianças terem nível elevado de chumbo é aproximadamente 25%.
(b) A probabilidade de nenhuma criança ter nível elevado de chumbo é aproximadamente 4,8%.
© A probabilidade de três ou mais crianças terem nível elevado de chumbo no sangue é aproximadamente 43,2%.

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