Os candidatos A, B, C e D a um determinado emprego são admitidos à entrevista final. Nesta entrevista são feitas 10 perguntas, sendo cada uma das perguntas dirigida a um dos candidatos escolhido ao acaso. Represente por X o número de perguntas dirigidas ao candidato A.
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória X.
(b) Calcule a probabilidade de A ter de responder a exactamente 2 perguntas.
© Qual o número esperado de perguntas dirigidas a este candidato?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma questão de Probabilidade aqui. Basicamente, temos 4 candidatos ( A, B, C, D) e 10 perguntas na entrevista. Cada pergunta é direcionada a um candidato escolhido aleatoriamente. Queremos analisar quantas perguntas o candidato A vai receber, representado por X. Vamos precisar entender um pouco sobre distribuições binomiais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a função de probabilidade da variável aleatória X. Aqui, cada pergunta é uma “tentativa” onde o sucesso é direcionar a pergunta para o candidato A. Como são 4 candidatos igualmente prováveis, a probabilidade de cada pergunta ser para A é p = 14.
Isso se encaixa na distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas. A fórmula da função de probabilidade para uma variável binomial é:
fX(x) = binomnx p^x (1-p)^n-x
onde:
  • n é o número de tentativas (no caso, 10 perguntas),
  • x é o número de sucessos (perguntas para A),
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 3

Agora, aplicando os valores que temos:
  • n = 10
  • p = 14
Então, a função de probabilidade fica:
fX(x) = binom10x (14)^x (34)^10-x
Isso significa que para cada valor de x de 0 a 10, podemos calcular a probabilidade correspondente usando essa fórmula.

Passo 4

Para a parte (b), queremos calcular a probabilidade de A receber exatamente 2 perguntas, ou seja, P(X = 2). Usamos a mesma fórmula da distribuição binomial:
P(X = 2) = binom102 (14)^2 (34)^8
Vamos calcular isso passo a passo:
  • binom102 = 10!2!(10-2)! = 45
  • (14)^2 = 116
  • (34)^8 approx 0,1001
Multiplicando tudo:
45 times 116 times 0,1001 approx 0,2816

Passo 5

Por fim, na parte ©, queremos encontrar o número esperado de perguntas dirigidas a A, ou seja, o valor esperado E[X]. Na distribuição binomial, o valor esperado é dado por:
E[X] = n times p
Substituindo:
E[X] = 10 times 14 = 2,5

Resposta

(a) A função de probabilidade de X é fX(x) = dbinom10x (14)^x (34)^10-x.
(b) A probabilidade de A responder exatamente 2 perguntas é aproximadamente 0,2816.
© O número esperado de perguntas dirigidas a A é 2,5.

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