Os candidatos
e
a um determinado emprego são admitidos à entrevista final. Nesta entrevista são feitas 10 perguntas, sendo cada uma das perguntas dirigida a um dos candidatos escolhido ao acaso. Represente por
o número de perguntas dirigidas ao candidato
.
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória
.
(b) Calcule a probabilidade de
ter de responder a exactamente 2 perguntas.
© Qual o número esperado de perguntas dirigidas a este candidato?
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória
(b) Calcule a probabilidade de
© Qual o número esperado de perguntas dirigidas a este candidato?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma questão de Probabilidade aqui. Basicamente, temos 4 candidatos (
,
,
,
) e 10 perguntas na entrevista. Cada pergunta é direcionada a um candidato escolhido aleatoriamente. Queremos analisar quantas perguntas o candidato
vai receber, representado por
. Vamos precisar entender um pouco sobre distribuições binomiais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a função de probabilidade da variável aleatória
. Aqui, cada pergunta é uma “tentativa” onde o sucesso é direcionar a pergunta para o candidato
. Como são 4 candidatos igualmente prováveis, a probabilidade de cada pergunta ser para
é
.
Isso se encaixa na distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas. A fórmula da função de probabilidade para uma variável binomial é:
onde:
-
é o número de tentativas (no caso, 10 perguntas), -
é o número de sucessos (perguntas para ), -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Passo 3
Agora, aplicando os valores que temos:
Então, a função de probabilidade fica:
Isso significa que para cada valor de
de 0 a 10, podemos calcular a probabilidade correspondente usando essa fórmula.
Passo 4
Para a parte (b), queremos calcular a probabilidade de
receber exatamente 2 perguntas, ou seja,
. Usamos a mesma fórmula da distribuição binomial:
Vamos calcular isso passo a passo:
Multiplicando tudo:
Passo 5
Por fim, na parte ©, queremos encontrar o número esperado de perguntas dirigidas a
, ou seja, o valor esperado
. Na distribuição binomial, o valor esperado é dado por:
Substituindo:
Resposta
(a) A função de probabilidade de
é
.
(b) A probabilidade de
responder exatamente 2 perguntas é aproximadamente
.
© O número esperado de perguntas dirigidas a
é
.