Qual o número mínimo de lâmpadas que devem ser instaladas de maneira que após 1200 h a probabilidade de ao menos uma funcionar seja 0,90 ?

Passo 1

Beleza, temos um problema de probabilidade aqui! O enunciado pergunta qual é o número mínimo de lâmpadas que precisamos instalar para que, depois de 1200 horas, a chance de pelo menos uma delas ainda estar funcionando seja de 90%. Vamos usar conceitos de confiabilidade e probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter pelo menos uma lâmpada funcionando após 1200 horas. Isso é o mesmo que dizer que não é o caso de todas as lâmpadas terem queimado. Então, a probabilidade de pelo menos uma funcionar é 1 menos a probabilidade de todas falharem.

Passo 3

Vamos chamar a probabilidade de uma única lâmpada não funcionar após 1200 horas de . Então, a probabilidade de todas as lâmpadas falharem é .

Passo 4

Queremos que a probabilidade de pelo menos uma funcionar seja 0,90. Então, podemos escrever:
1 - q^n = 0,90

Passo 5

Vamos isolar q^n = 1 - 0,90 :
q^n = 0,10

Passo 6

Agora, para encontrar ln(q^n) = ln(0,10) , vamos usar logaritmos. Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
n cdot ln(q) = ln(0,10)

Passo 7

Isolando n = ln(0,10)ln(q) :

Passo 8

Portanto, o número mínimo de lâmpadas necessárias é dado por:
n = ln(0,10)ln(q)

Resposta

O número mínimo de lâmpadas que devem ser instaladas para que a probabilidade de ao menos uma funcionar após 1200 horas seja de 90% é:
n = ln(0,10)ln(q)

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