Qual o número mínimo de lâmpadas que devem ser instaladas de maneira que após 1200 h a probabilidade de ao menos uma funcionar seja 0,90 ?

Passo 1

Beleza, temos um problema de probabilidade aqui! O enunciado pergunta qual é o número mínimo de lâmpadas que precisamos instalar para que, depois de 1200 horas, a chance de pelo menos uma delas ainda estar funcionando seja de 90%. Vamos usar conceitos de confiabilidade e probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter pelo menos uma lâmpada funcionando após 1200 horas. Isso é o mesmo que dizer que não é o caso de todas as lâmpadas terem queimado. Então, a probabilidade de pelo menos uma funcionar é 1 menos a probabilidade de todas falharem.

Passo 3

Vamos chamar a probabilidade de uma única lâmpada não funcionar após 1200 horas de . Então, a probabilidade de todas as lâmpadas falharem é .

Passo 4

Queremos que a probabilidade de pelo menos uma funcionar seja 0,90. Então, podemos escrever:

Passo 5

Vamos isolar :

Passo 6

Agora, para encontrar , vamos usar logaritmos. Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Portanto, o número mínimo de lâmpadas necessárias é dado por:

Resposta

O número mínimo de lâmpadas que devem ser instaladas para que a probabilidade de ao menos uma funcionar após 1200 horas seja de 90% é:

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