Qual o número mínimo de lâmpadas que devem ser instaladas de maneira que após 1200 h a probabilidade de ao menos uma funcionar seja 0,90 ?
Passo 1
Beleza, temos um problema de probabilidade aqui! O enunciado pergunta qual é o número mínimo de lâmpadas que precisamos instalar para que, depois de 1200 horas, a chance de pelo menos uma delas ainda estar funcionando seja de 90%. Vamos usar conceitos de confiabilidade e probabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter pelo menos uma lâmpada funcionando após 1200 horas. Isso é o mesmo que dizer que não é o caso de todas as lâmpadas terem queimado. Então, a probabilidade de pelo menos uma funcionar é 1 menos a probabilidade de todas falharem.
Passo 3
Vamos chamar a probabilidade de uma única lâmpada não funcionar após 1200 horas de
. Então, a probabilidade de todas as
lâmpadas falharem é
.
Passo 4
Queremos que a probabilidade de pelo menos uma funcionar seja 0,90. Então, podemos escrever:
Passo 5
Vamos isolar
:
Passo 6
Agora, para encontrar
, vamos usar logaritmos. Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Portanto, o número mínimo de lâmpadas necessárias é dado por:
Resposta
O número mínimo de lâmpadas que devem ser instaladas para que a probabilidade de ao menos uma funcionar após 1200 horas seja de 90% é: