Uma indústria têxtil produz rolos de tecido e afirma que a média do comprimento dos rolos é de 100 metros. No entanto, a equipe de controle de qualidade suspeita que a média real possa ser menor. Para investigar essa suspeita, uma amostra aleatória de 12 rolos é coletada, e os comprimentos são medidos.
96 94 93 94 97 96
98 100 102 101 99 97
© Calcule o valor da estatística do teste considerando a amostra observada e tome a decisão.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A indústria têxtil afirma que o comprimento médio dos rolos é de 100 metros, mas a equipe de controle de qualidade suspeita que, na verdade, esse valor possa ser menor. Para investigar isso, foi coletada uma amostra aleatória de 12 rolos com os seguintes comprimentos:
96, 94, 93, 94, 97, 96, 98, 100, 102, 101, 99, 97.
Vamos usar teste de hipóteses para a média para verificar se a suspeita da equipe é válida. Precisaremos calcular a média da amostra, o desvio padrão da amostra e, por fim, a estatística do teste.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média ( barx = 96 + 94 + 93 + 94 + 97 + 96 + 98 + 100 + 102 + 101 + 99 + 9712 ) é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barx = 117712 approx 98,08 metros

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra ( s = raizsum (xi - barx)^2n - 1 ). O desvio padrão nos mostra o quanto os valores estão dispersos em relação à média.
Primeiro, calculamos cada diferença entre cada valor e a média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e depois dividimos por (n-1).
(96 - 98,08)^2 = 4,33
Calculando cada termo:
(94 - 98,08)^2 = 16,65
(93 - 98,08)^2 = 25,81
(94 - 98,08)^2 = 16,65
(97 - 98,08)^2 = 1,17
(96 - 98,08)^2 = 4,33
(98 - 98,08)^2 = 0,01
(100 - 98,08)^2 = 3,69
(102 - 98,08)^2 = 15,54
(101 - 98,08)^2 = 8,76
(99 - 98,08)^2 = 0,85
(97 - 98,08)^2 = 1,17
4,33 + 16,65 + 25,81 + 16,65 + 1,17 + 4,33 + 0,01 + 3,69 + 15,54 + 8,76 + 0,85 + 1,17 = 97,0
Somando todos esses valores:
s = raiz97,011 approx raiz8,818 approx 2,97 metros
Agora, dividimos por (12 - 1) = 11:

Passo 4

Vamos agora formular as hipóteses do nosso teste:
  • Hipótese nula ( ): A média real dos comprimentos dos rolos é igual a 100 metros.
  • Hipótese alternativa ( ): A média real dos comprimentos dos rolos é menor que 100 metros.
Como estamos trabalhando com uma amostra pequena (n < 30) e desconhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student.

Passo 5

Vamos calcular a estatística do teste t usando a fórmula:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • t = 98,08 - 1002,97raiz12 = -1,922,973,464 = -1,920,858 approx -2,24 metros (média da amostra)
  • metros (média hipotética)
  • metros (desvio padrão da amostra)
  • (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos tomar uma decisão com base no valor do t calculado. Para isso, precisamos determinar o valor crítico ou o p-valor.
Assumindo um nível de significância ( ) de 5%, e com graus de liberdade, consultamos a tabela t de Student e encontramos que o valor crítico para um teste unilateral é aproximadamente -1,796.
Como nosso t calculado (-2,24) é menor que o valor crítico (-1,796), rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

A estatística do teste foi calculada como . Como é menor que o valor crítico de -1,796, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para afirmar que a média real dos comprimentos dos rolos é menor que 100 metros.

Exercícios relacionados