Uma indústria têxtil produz rolos de tecido e afirma que a média do comprimento dos rolos é de 100 metros. No entanto, a equipe de controle de qualidade suspeita que a média real possa ser menor. Para investigar essa suspeita, uma amostra aleatória de 12 rolos é coletada, e os comprimentos são medidos.
96 94 93 94 97 96
98 100 102 101 99 97
© Calcule o valor da estatística do teste considerando a amostra observada e tome a decisão.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A indústria têxtil afirma que o comprimento médio dos rolos é de 100 metros, mas a equipe de controle de qualidade suspeita que, na verdade, esse valor possa ser menor. Para investigar isso, foi coletada uma amostra aleatória de 12 rolos com os seguintes comprimentos:
96, 94, 93, 94, 97, 96, 98, 100, 102, 101, 99, 97.
Vamos usar teste de hipóteses para a média para verificar se a suspeita da equipe é válida. Precisaremos calcular a média da amostra, o desvio padrão da amostra e, por fim, a estatística do teste.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média ( ) é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra ( ). O desvio padrão nos mostra o quanto os valores estão dispersos em relação à média.
Primeiro, calculamos cada diferença entre cada valor e a média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e depois dividimos por (n-1).
Calculando cada termo:
Somando todos esses valores:
Agora, dividimos por (12 - 1) = 11:

Passo 4

Vamos agora formular as hipóteses do nosso teste:
  • Hipótese nula ( ): A média real dos comprimentos dos rolos é igual a 100 metros.
  • Hipótese alternativa ( ): A média real dos comprimentos dos rolos é menor que 100 metros.
Como estamos trabalhando com uma amostra pequena (n < 30) e desconhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student.

Passo 5

Vamos calcular a estatística do teste t usando a fórmula:
Onde:
  • metros (média da amostra)
  • metros (média hipotética)
  • metros (desvio padrão da amostra)
  • (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos tomar uma decisão com base no valor do t calculado. Para isso, precisamos determinar o valor crítico ou o p-valor.
Assumindo um nível de significância ( ) de 5%, e com graus de liberdade, consultamos a tabela t de Student e encontramos que o valor crítico para um teste unilateral é aproximadamente -1,796.
Como nosso t calculado (-2,24) é menor que o valor crítico (-1,796), rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

A estatística do teste foi calculada como . Como é menor que o valor crítico de -1,796, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para afirmar que a média real dos comprimentos dos rolos é menor que 100 metros.

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(b) Dado , construa a região crítica;
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(a) Defina as hipóteses;