Um número q é escolhido ao acaso no intervalo ( 0,1 ). Dois jogadores A e B disputam um jogo em n etapas independentes onde A tem probabilidade q, de vencer B em cada prova.
a) Qual o número médio de etapas que A vence?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos dois jogadores, o A e o B, que jogam n etapas. A probabilidade de o jogador A vencer cada etapa é um número q que foi escolhido aleatoriamente entre 0 e 1. Queremos descobrir qual é o número médio de etapas que o A vence.
Aqui, estamos lidando com probabilidade e esperança matemática. Vamos precisar entender como calcular a média esperada de vitórias do jogador A em n etapas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada etapa é independente. Isso significa que o resultado de uma etapa não afeta o resultado das outras. A probabilidade de A vencer uma etapa é q. Como q é escolhido aleatoriamente entre 0 e 1, isso adiciona uma camada de incerteza.

Passo 3

Para encontrar o número médio de vitórias de A, precisamos calcular a esperança matemática. A esperança é basicamente a média que esperaríamos se repetíssemos o experimento um monte de vezes.
Cada etapa tem uma probabilidade q de A ganhar, então, em n etapas, a expectativa de vitórias seria n vezes q. Matematicamente, isso é representado por:
E = n times q

Passo 4

No entanto, como q é um número aleatório escolhido entre 0 e 1, precisamos considerar a média de q nesse intervalo. A média de uma variável uniforme contínua no intervalo [0,1] é 0,5.
Então, substituímos q por 0,5 na expressão da esperança:
E = n times 0,5

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
E = n2
Isso significa que, em média, o jogador A vence metade das etapas.

Resposta

O número médio de etapas que o jogador A vence é .

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