Um número q é escolhido ao acaso no intervalo ( 0,1 ). Dois jogadores
e
disputam um jogo em
etapas independentes onde
tem probabilidade
, de vencer
em cada prova.
a) Qual o número médio de etapas que
vence?
a) Qual o número médio de etapas que
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos dois jogadores, o A e o B, que jogam n etapas. A probabilidade de o jogador A vencer cada etapa é um número q que foi escolhido aleatoriamente entre 0 e 1. Queremos descobrir qual é o número médio de etapas que o A vence.
Aqui, estamos lidando com probabilidade e esperança matemática. Vamos precisar entender como calcular a média esperada de vitórias do jogador A em n etapas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada etapa é independente. Isso significa que o resultado de uma etapa não afeta o resultado das outras. A probabilidade de A vencer uma etapa é q. Como q é escolhido aleatoriamente entre 0 e 1, isso adiciona uma camada de incerteza.
Passo 3
Para encontrar o número médio de vitórias de A, precisamos calcular a esperança matemática. A esperança é basicamente a média que esperaríamos se repetíssemos o experimento um monte de vezes.
Cada etapa tem uma probabilidade q de A ganhar, então, em n etapas, a expectativa de vitórias seria n vezes q. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 4
No entanto, como q é um número aleatório escolhido entre 0 e 1, precisamos considerar a média de q nesse intervalo. A média de uma variável uniforme contínua no intervalo [0,1] é 0,5.
Então, substituímos q por 0,5 na expressão da esperança:
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
Isso significa que, em média, o jogador A vence metade das etapas.
Resposta
O número médio de etapas que o jogador A vence é
.