Um número q é escolhido ao acaso no intervalo ( 0,1 ). Dois jogadores
e
disputam um jogo em
etapas independentes onde
tem probabilidade
, de vencer
em cada prova.
a) Qual o número médio de etapas que
vence?
a) Qual o número médio de etapas que
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos dois jogadores, o A e o B, que jogam n etapas. A probabilidade de o jogador A vencer cada etapa é um número q que foi escolhido aleatoriamente entre 0 e 1. Queremos descobrir qual é o número médio de etapas que o A vence.
Aqui, estamos lidando com probabilidade e esperança matemática. Vamos precisar entender como calcular a média esperada de vitórias do jogador A em n etapas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada etapa é independente. Isso significa que o resultado de uma etapa não afeta o resultado das outras. A probabilidade de A vencer uma etapa é q. Como q é escolhido aleatoriamente entre 0 e 1, isso adiciona uma camada de incerteza.
Passo 3
Para encontrar o número médio de vitórias de A, precisamos calcular a esperança matemática. A esperança é basicamente a média que esperaríamos se repetíssemos o experimento um monte de vezes.
Cada etapa tem uma probabilidade q de A ganhar, então, em n etapas, a expectativa de vitórias seria n vezes q. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 4
No entanto, como q é um número aleatório escolhido entre 0 e 1, precisamos considerar a média de q nesse intervalo. A média de uma variável uniforme contínua no intervalo [0,1] é 0,5.
Então, substituímos q por 0,5 na expressão da esperança:
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
Isso significa que, em média, o jogador A vence metade das etapas.
Resposta
O número médio de etapas que o jogador A vence é
.
Exercícios relacionados
Cálculo do Índice de Lucratividade (IL)
Uma usina solar fotovoltaica de 1 MW em Santarém tem uma produção anual estimada de 1.500 MWh e uma tarifa média de venda de energia de . O investimento inicial para a instalação da usina foi de
. Após o primeiro ano de operação, a produção anual foi
menor do que a estimada, devido a fatores climáticos.
Calcule a receita anual esperada da usina sem a redução de produção.
Uma usina solar fotovoltaica de 1 MW em Santarém tem uma produção anual estimada de 1.500 MWh e uma tarifa média de venda de energia de
Calcule a receita anual esperada da usina sem a redução de produção.
Uma moeda é lançada duas vezes. Consideremos as variáveis aleatórias:
X : face obtida no primeiro lançamento
Y : face obtida no segundo lançamento
Z : número de caras obtido nos dois lançamentos
Verifique se: b) as variáveis XeZ são independentes.
X : face obtida no primeiro lançamento
Y : face obtida no segundo lançamento
Z : número de caras obtido nos dois lançamentos
Verifique se: b) as variáveis XeZ são independentes.
Comparação de Investimentos em Energia Renovável
Uma empresa está avaliando a instalação de duas usinas de geração de energia renovável em Santarém: uma usina solar fotovoltaica e uma usina eólica. Ambas as usinas têm uma vida útil de 20 anos e as condições de investimento e produção são as seguintes:
Uma empresa está avaliando a instalação de duas usinas de geração de energia renovável em Santarém: uma usina solar fotovoltaica e uma usina eólica. Ambas as usinas têm uma vida útil de 20 anos e as condições de investimento e produção são as seguintes:
- Usina Solar Fotovoltaica:
- Capacidade: 1 MW
- Produção anual estimada: 1.500 MWh
- Tarifa média de venda de energia: R$ 0,30/kWh
- Investimento inicial: R$ 2.000.000,00
- Custos operacionais anuais: R$50.000,00
- Usina Eólica:
- Capacidade: 1,2 MW
- Produção anual estimada: 2.000 MWh
- Tarifa média de venda de energia: R$ 0,25/kWh
- Investimento inicial: R$ 3.000.000,00
- Custos operacionais anuais:
Calcule a receita anual esperada de cada usina.