Uma moeda é lançada duas vezes. Consideremos as variáveis aleatórias:
X : face obtida no primeiro lançamento
Y : face obtida no segundo lançamento
Z : número de caras obtido nos dois lançamentos
Verifique se: b) as variáveis XeZ são independentes.
X : face obtida no primeiro lançamento
Y : face obtida no segundo lançamento
Z : número de caras obtido nos dois lançamentos
Verifique se: b) as variáveis XeZ são independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar uma moeda duas vezes e definir três variáveis aleatórias:
- X: o resultado do primeiro lançamento (cara ou coroa).
- Y: o resultado do segundo lançamento (cara ou coroa).
- Z: o número de caras obtidas nos dois lançamentos.
A gente precisa verificar se as variáveis X e Z são independentes. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e independência de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos enumerar todos os possíveis resultados dos dois lançamentos da moeda. Como cada lançamento tem duas possibilidades (cara ou coroa), temos:
- CC: cara no primeiro e no segundo lançamento.
- CCo: cara no primeiro e coroa no segundo.
- CoC: coroa no primeiro e cara no segundo.
- CoCo: coroa em ambos os lançamentos.
Passo 3
Agora, vamos definir as variáveis aleatórias:
- X pode ser C ou Co.
- Z pode ser 0, 1 ou 2, correspondendo ao número de caras obtidas.
Vamos associar cada resultado aos valores de X e Z:
Resultado | X | Z |
---|---|---|
CC | C | 2 |
CCo | C | 1 |
CoC | Co | 1 |
CoCo | Co | 0 |
Passo 4
Vamos calcular as probabilidades individuais de X e Z.
-
P(X = C): Probabilidade de sair cara no primeiro lançamento.
- Tem 2 resultados começando com C (CC e CCo).
- Então,
.
-
P(X = Co): Probabilidade de sair coroa no primeiro lançamento.
- Tem 2 resultados começando com Co (CoC e CoCo).
- Então,
.
Agora, para Z:
-
P(Z = 0): Nenhuma cara.
- Apenas 1 resultado (CoCo).
-
.
-
P(Z = 1): Uma cara.
- Dois resultados (CCo e CoC).
-
.
-
P(Z = 2): Duas caras.
- Apenas 1 resultado (CC).
-
.
Passo 5
Agora, vamos calcular as probabilidades conjuntas de X e Z.
-
P(X = C, Z = 2):
- Apenas 1 resultado (CC).
-
.
-
P(X = C, Z = 1):
- Apenas 1 resultado (CCo).
-
.
-
P(X = Co, Z = 1):
- Apenas 1 resultado (CoC).
-
.
-
P(X = Co, Z = 0):
- Apenas 1 resultado (CoCo).
-
.
Passo 6
Para verificar se X e Z são independentes, precisamos checar se:
Vamos verificar para todas as combinações possíveis:
- X = C, Z = 2:
Como , já não são independentes.
Podemos parar por aqui, já que uma das combinações não satisfaz a igualdade.
Resposta
As variáveis X e Z não são independentes.