Uma moeda é lançada duas vezes. Consideremos as variáveis aleatórias:
X : face obtida no primeiro lançamento
Y : face obtida no segundo lançamento
Z : número de caras obtido nos dois lançamentos
Verifique se: b) as variáveis XeZ são independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar uma moeda duas vezes e definir três variáveis aleatórias:
  • X: o resultado do primeiro lançamento (cara ou coroa).
  • Y: o resultado do segundo lançamento (cara ou coroa).
  • Z: o número de caras obtidas nos dois lançamentos.
A gente precisa verificar se as variáveis X e Z são independentes. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e independência de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos enumerar todos os possíveis resultados dos dois lançamentos da moeda. Como cada lançamento tem duas possibilidades (cara ou coroa), temos:
  1. CC: cara no primeiro e no segundo lançamento.
  2. CCo: cara no primeiro e coroa no segundo.
  3. CoC: coroa no primeiro e cara no segundo.
  4. CoCo: coroa em ambos os lançamentos.

Passo 3

Agora, vamos definir as variáveis aleatórias:
  • X pode ser C ou Co.
  • Z pode ser 0, 1 ou 2, correspondendo ao número de caras obtidas.
Vamos associar cada resultado aos valores de X e Z:
Resultado X Z
CC C 2
CCo C 1
CoC Co 1
CoCo Co 0

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades individuais de X e Z.
  • P(X = C): Probabilidade de sair cara no primeiro lançamento.
    • Tem 2 resultados começando com C (CC e CCo).
    • Então, .
  • P(X = Co): Probabilidade de sair coroa no primeiro lançamento.
    • Tem 2 resultados começando com Co (CoC e CoCo).
    • Então, .
Agora, para Z:
  • P(Z = 0): Nenhuma cara.
    • Apenas 1 resultado (CoCo).
    • .
  • P(Z = 1): Uma cara.
    • Dois resultados (CCo e CoC).
    • .
  • P(Z = 2): Duas caras.
    • Apenas 1 resultado (CC).
    • .

Passo 5

Agora, vamos calcular as probabilidades conjuntas de X e Z.
  • P(X = C, Z = 2):
    • Apenas 1 resultado (CC).
    • .
  • P(X = C, Z = 1):
    • Apenas 1 resultado (CCo).
    • .
  • P(X = Co, Z = 1):
    • Apenas 1 resultado (CoC).
    • .
  • P(X = Co, Z = 0):
    • Apenas 1 resultado (CoCo).
    • .

Passo 6

Para verificar se X e Z são independentes, precisamos checar se:
P(X = x, Z = z) = P(X = x) times P(Z = z)
Vamos verificar para todas as combinações possíveis:
  1. X = C, Z = 2: P(X = C, Z = 2) = 0,25 e P(X = C) times P(Z = 2) = 0,5 times 0,25 = 0,125 Como , já não são independentes.
Podemos parar por aqui, já que uma das combinações não satisfaz a igualdade.

Resposta

As variáveis X e Z não são independentes.

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