O número de turistas x que comparecem diariamente para um passeio de barco relaciona-se com o preço P em reais cobrado por pessoa através da relação P = 300 - 2x. Se o barco tiver 100 lugares, qual a receita máxima que pode ser obtida por dia?
A) R$ 10000,00
B) R$ 11500,00
C) R$ 10750,00
D) R$ 11000,00
E) R$ 11250,00

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um número de turistas, chamado de x, que comparecem diariamente para um passeio de barco. O preço por pessoa, P, está relacionado com o número de turistas através da fórmula P = 300 - 2x. O barco tem 100 lugares, e queremos descobrir qual é a receita máxima que pode ser obtida por dia. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de funções e como maximizar a receita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o preço P e o número de turistas x. A fórmula dada é P = 300 - 2x. Isso significa que, conforme mais turistas vêm, o preço por pessoa diminui. Agora, a receita total R é o preço por pessoa multiplicado pelo número de turistas, ou seja, R = P times x.

Passo 3

Vamos substituir a expressão de P na fórmula da receita:
R = (300 - 2x) times x
Simplificando:
R = 300x - 2x^2
Agora temos uma função quadrática que representa a receita em função do número de turistas.

Passo 4

Para encontrar a receita máxima, precisamos determinar o valor de x que maximiza a função R = -2x^2 + 300x. Sabemos que uma função quadrática ax^2 + bx + c atinge o seu valor máximo quando x = -b2a.
Aqui, a = -2 e b = 300. Vamos calcular:
x = -3002 times (-2) = -300-4 = 75
Então, o número de turistas que maximiza a receita é 75.

Passo 5

Agora que sabemos que x = 75, podemos encontrar o preço por pessoa substituindo esse valor na fórmula P = 300 - 2x:
P = 300 - 2 times 75 = 300 - 150 = 150
Então, o preço por pessoa para maximizar a receita é R$150,00.

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a receita máxima substituindo x = 75 e P = 150 na fórmula da receita:
R = 150 times 75 = 11250

Resposta

A receita máxima que pode ser obtida por dia é R$ 11.250,00.

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