O número de turistas x que comparecem diariamente para um passeio de barco relaciona-se com o preço P em reais cobrado por pessoa através da relação P = 300 - 2x. Se o barco tiver 100 lugares, qual a receita máxima que pode ser obtida por dia?
A) R$ 10000,00
B) R$ 11500,00
C) R$ 10750,00
D) R$ 11000,00
E) R$ 11250,00
A) R$ 10000,00
B) R$ 11500,00
C) R$ 10750,00
D) R$ 11000,00
E) R$ 11250,00
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um número de turistas, chamado de
, que comparecem diariamente para um passeio de barco. O preço por pessoa,
, está relacionado com o número de turistas através da fórmula
. O barco tem 100 lugares, e queremos descobrir qual é a receita máxima que pode ser obtida por dia. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de funções e como maximizar a receita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o preço
e o número de turistas
. A fórmula dada é
. Isso significa que, conforme mais turistas vêm, o preço por pessoa diminui. Agora, a receita total
é o preço por pessoa multiplicado pelo número de turistas, ou seja,
.
Passo 3
Vamos substituir a expressão de
na fórmula da receita:
Simplificando:
Agora temos uma função quadrática que representa a receita em função do número de turistas.
Passo 4
Para encontrar a receita máxima, precisamos determinar o valor de
que maximiza a função
. Sabemos que uma função quadrática
atinge o seu valor máximo quando
.
Aqui,
e
. Vamos calcular:
Então, o número de turistas que maximiza a receita é 75.
Passo 5
Agora que sabemos que
, podemos encontrar o preço por pessoa substituindo esse valor na fórmula
:
Então, o preço por pessoa para maximizar a receita é R$150,00.
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a receita máxima substituindo
e
na fórmula da receita:
Resposta
A receita máxima que pode ser obtida por dia é R$ 11.250,00.