Dados os pontos A(4, 0, -1) e B(2, -2, 1) e os vetores u=(2, 1, 1) e v=(-1,-2, 3), o vetor x tal que 3x+2v=x+(AB.U)v é ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos no espaço, A(4, 0, -1) e B(2, -2, 1), e dois vetores, u = (2, 1, 1) e v = (-1, -2, 3). A gente precisa achar o vetor x que satisfaz a equação:
3x + 2v = x + (AB cdot u) , v
Aqui, usamos conceitos de vetores e produto escalar da matéria de Geometria Analítica. Vamos precisar calcular o vetor AB, fazer o produto escalar entre AB e u, e depois resolver a equação para x.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor AB. Para isso, subtraímos as coordenadas de A pelas de B:
AB = B - A = (2 - 4, -2 - 0, 1 - (-1)) = (-2, -2, 2)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre AB e u. O produto escalar de dois vetores $ a = (a_1, a_2, a_3) $ e $ b = (b_1, b_2, b_3) $ é dado por:
a = (a1, a2, a3)

Passo 4

Substituindo esse resultado na equação inicial:
3x + 2v = x + (-4)v
Vamos isolar o x. Primeiro, trazemos o x para o lado esquerdo e os termos com v para o lado direito:
3x - x = -4v - 2v
2x = -6v

Passo 5

Agora, dividimos ambos os lados por 2 para encontrar x:
x = -6v2
x = -3v

Passo 6

Como v = (-1, -2, 3), multiplicamos cada componente por -3:
x = -3 times (-1, -2, 3) = (3, 6, -9)

Resposta

O vetor $ x $ é $ (3, 6, -9) $.

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