(Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água em Florianópolis, na região do sul da ilha. Para isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã no primeiro dia e os dados foram representados pela função periódica:)
$$
T(t)=24+3 \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right)$$
Represente, graficamente, as medições coletadas durante os três dias de estudo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função que representa a temperatura da água em Florianópolis ao longo de três dias, medindo a cada hora. Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função para visualizar como a temperatura muda nesse período. Para isso, vamos precisar entender de funções trigonométricas, especialmente funções cosseno, e como elas se comportam graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada:
Aqui, representa a temperatura em função do tempo , que está medido em horas a partir das 5 da manhã do primeiro dia.

Passo 3

Vamos identificar os componentes dessa função trigonométrica para facilitar o desenho do gráfico:
  1. Amplitude: É o valor que multiplica a função cosseno. No caso, temos 3. Isso significa que a temperatura oscila 3 graus acima e abaixo da média.
  2. Período: O período é o intervalo de tempo que a função leva para completar uma oscilação completa. A fórmula geral para o período de uma função do tipo é . Aqui, , ent��o o período é:
    Isso indica que a temperatura completa um ciclo de oscilações a cada 12 horas.
  3. Deslocamento Vertical: É o valor que está sendo somado à função cosseno, que nesse caso é 24. Isso significa que a média da temperatura está em 24 graus.
  4. Deslocamento de Fase: É o termo adicionado dentro do cosseno, que é . Isso indica que o gráfico da função está deslocado para a esquerda ou direita.

Passo 4

Agora, vamos determinar o deslocamento de fase. A fórmula para o deslocamento de fase é , onde é o termo adicionado. Aqui, e :
Isso significa que o gráfico está deslocado 2 horas para a direita.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos resumir:
  • Amplitude: 3
  • Período: 12 horas
  • Média (Deslocamento Vertical): 24 graus
  • Deslocamento de Fase: 2 horas para a direita

Passo 6

Para desenhar o gráfico:
  1. Eixo Horizontal (t): Representa o tempo em horas, começando às 5 da manhã do primeiro dia (t=0) até 3 dias depois. Como cada dia tem 24 horas, vamos até horas.
  2. Eixo Vertical (T(t)): Representa a temperatura, que oscila entre graus e graus.
  3. Ponto Inicial: Devido ao deslocamento de fase de 2 horas para a direita, o primeiro pico da função ocorrerá em horas.
  4. Desenho das Oscilações: A cada 12 horas, teremos uma repetição completa do ciclo de temperatura, subindo até 27 graus e descendo até 21 graus.

Passo 7

Vamos plotar alguns pontos chave para ter uma ideia de como o gráfico se comporta:
  • t = 0 horas:
  • t = 2 horas:
  • t = 6 horas:
Esses pontos nos ajudam a traçar o início do gráfico.

Passo 8

Com todos os pontos e as informações sobre amplitude, período e deslocamento, podemos desenhar o gráfico da função ao longo das 72 horas (3 dias). O gráfico será uma onda cossenoide oscilando entre 21 e 27 graus, com picos a cada 12 horas e começando com um valor de 25,5 graus às 5 da manhã do primeiro dia.

Resposta

O gráfico da temperatura ao longo de três dias apresenta uma onda cossenoide com amplitude de 3 graus, média de 24 graus, período de 12 horas e deslocamento de fase de 2 horas para a direita. A temperatura oscila entre 21 e 27 graus, repetindo esse ciclo a cada 12 horas durante os 72 horas estudadas.

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(Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água em Florianópolis, na região do sul da ilha. Para isso, efetuou medições durante três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da manhã no primeiro dia e os dados foram representados pela função periódica:)
$$
T(t)=24+3 \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi}{3}\right)$$
Tal modelo adotado é adequado para o estudo? Justifique sua resposta.
Determine as derivadas:
da função
a)
b)