Um objeto de 25 cm de comprimento é colocado sobre o eixo principal de um espelho esférico, a 80 cm do vértice. A imagem real correspondente forma-se a 40 cm do espelho. Determine o formato do espelho e o comprimento da imagem:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos um objeto que mede 25 cm de comprimento colocado em frente a um espelho esférico, a 80 cm do vértice. A imagem formada está a 40 cm do espelho e é real. Nosso objetivo aqui é descobrir se esse espelho é côncavo ou convexo e também calcular o tamanho da imagem formada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de óptica geométrica, especificamente as equações dos espelhos esféricos e a relação de magnificação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação dos espelhos esféricos, que relaciona a distância do objeto §, a distância da imagem (q) e a distância focal (f):
1f = 1p + 1q
Nesse caso, sabemos que o objeto está a 80 cm do espelho, então p = 80 cm, e a imagem real está a 40 cm, então q = 40 cm. Mas antes de calcular f, é importante lembrar das convenções de sinais:
  • Para espelhos côncavos, a distância focal f é positiva.
  • Para espelhos convexos, a distância focal f é negativa.
  • A distância da imagem q é positiva se a imagem é real e está do mesmo lado do espelho que o objeto.
Sabendo que a imagem é real e está do mesmo lado do objeto, q = 40 cm é positiva.

Passo 3

Vamos agora aplicar a equação dos espelhos para encontrar a distância focal f:
1f = 180 + 140 = 180 + 280 = 380
Então,
f = 803 approx 26,67 cm
Como f é positivo, isso indica que o espelho é côncavo.

Passo 4

Agora, vamos calcular o comprimento da imagem. Para isso, usamos a relação de magnificação (m), que relaciona o tamanho da imagem (hi) com o tamanho do objeto (ho), e também as distâncias p e q:
m = hiho = -qp
Substituindo os valores conhecidos:
m = -4080 = -0,5
O sinal negativo indica que a imagem está invertida. Agora, para encontrar o comprimento da imagem hi:
hi = m times ho = -0,5 times 25 cm = -12,5 cm
O valor negativo reafirma que a imagem está invertida e seu comprimento é 12,5 cm.

Resposta

O espelho é côncavo e o comprimento da imagem formada é 12,5 cm.

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