Um objeto de massa m é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial
. Considerando a resistência do ar proporcional à velocidade, a equação do movimento é dada por
onde g é a aceleração da gravidade e k é a constante de proporcionalidade da força de resistência do ar. Determine a velocidade em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um objeto com massa m que é lançado para cima com uma velocidade inicial v₀. A resistência do ar que age no objeto é proporcional à sua velocidade, e a equação que descreve esse movimento é:
Aqui, g é a aceleração da gravidade e k é a constante que liga a resistência do ar à velocidade. Nosso objetivo é encontrar a velocidade em função do tempo, ou seja, v(t). Para isso, vamos precisar resolver essa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por m:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver usando um método chamado fator integrante.
Passo 3
A equação está na forma padrão:
Aqui, o termo P(t) é k/m e o termo Q(t) é -g. Vamos encontrar o fator integrante (μ(t)) que multiplica toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:
Passo 4
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante, temos:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação ao tempo t:
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{(k/m) t} v, e a do lado direito é:
onde C é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos v(t):
Dividindo ambos os lados por e^{(k/m) t}, temos:
Passo 7
Aplicando a condição inicial v(0) = v₀, encontramos a constante C:
Então, C = v₀ + \frac{g m}{k}.
Resposta
A velocidade em função do tempo é:
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Resolva a equação homogênea:
Faça uma função que dada uma frase retorne uma outra frase que contenha as mesmas palavras da frase de entrada na ordem inversa, sem letras maiúsculas, e sem a pontuação.
DICA: remova a pontuação da frase, usando a função que você fez pro exercício anterior. Para reaproveitar uma função feita no Machine Teaching, copie o código completo da função e cole na caixa de resposta do exercício onde quer utilizá-la. Faça então a função pedida no exercício, embaixo da que você colou, e dentro dela você irá chamar a que está reutilizando.
Exemplo:
frase lida: Nossa, como eu gosto de chocolate.
frase alterada: chocolate de gosto eu como nossa
DICA: remova a pontuação da frase, usando a função que você fez pro exercício anterior. Para reaproveitar uma função feita no Machine Teaching, copie o código completo da função e cole na caixa de resposta do exercício onde quer utilizá-la. Faça então a função pedida no exercício, embaixo da que você colou, e dentro dela você irá chamar a que está reutilizando.
Exemplo:
frase lida: Nossa, como eu gosto de chocolate.
frase alterada: chocolate de gosto eu como nossa