Um objeto de massa m é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial v0. Considerando a resistência do ar proporcional à velocidade, a equação do movimento é dada por
m d vd t=-m g-k v
onde g é a aceleração da gravidade e k é a constante de proporcionalidade da força de resistência do ar. Determine a velocidade em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um objeto com massa m que é lançado para cima com uma velocidade inicial v₀. A resistência do ar que age no objeto é proporcional à sua velocidade, e a equação que descreve esse movimento é:
m d vd t = -m g - k v
Aqui, g é a aceleração da gravidade e k é a constante que liga a resistência do ar à velocidade. Nosso objetivo é encontrar a velocidade em função do tempo, ou seja, v(t). Para isso, vamos precisar resolver essa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por m:
d vd t = -g - km v
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver usando um método chamado fator integrante.

Passo 3

A equação está na forma padrão:
d vd t + km v = -g
Aqui, o termo P(t) é k/m e o termo Q(t) é -g. Vamos encontrar o fator integrante (μ(t)) que multiplica toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:
μ(t) = e^integral P(t) dt = e^km t

Passo 4

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante, temos:
e^km t d vd t + km e^km t v = -g e^km t
Isso simplifica para:
dd t ( e^km t v ) = -g e^km t

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação ao tempo t:
integral dd t ( e^km t v ) dt = integral -g e^km t dt
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{(k/m) t} v, e a do lado direito é:
-g mk e^km t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos v(t):
e^km t v = -g mk e^km t + C
Dividindo ambos os lados por e^{(k/m) t}, temos:
v(t) = -g mk + C e^-km t

Passo 7

Aplicando a condição inicial v(0) = v₀, encontramos a constante C:
v₀ = -g mk + C
Então, C = v₀ + \frac{g m}{k}.

Resposta

A velocidade em função do tempo é:
v(t) = -g mk + ( v0 + g mk ) e^-km t

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