Um objeto de massa m é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial
. Considerando a resistência do ar proporcional à velocidade, a equação do movimento é dada por
onde g é a aceleração da gravidade e k é a constante de proporcionalidade da força de resistência do ar. Determine a velocidade em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um objeto com massa m que é lançado para cima com uma velocidade inicial v₀. A resistência do ar que age no objeto é proporcional à sua velocidade, e a equação que descreve esse movimento é:
Aqui, g é a aceleração da gravidade e k é a constante que liga a resistência do ar à velocidade. Nosso objetivo é encontrar a velocidade em função do tempo, ou seja, v(t). Para isso, vamos precisar resolver essa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por m:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver usando um método chamado fator integrante.
Passo 3
A equação está na forma padrão:
Aqui, o termo P(t) é k/m e o termo Q(t) é -g. Vamos encontrar o fator integrante (μ(t)) que multiplica toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:
Passo 4
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante, temos:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação ao tempo t:
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{(k/m) t} v, e a do lado direito é:
onde C é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos v(t):
Dividindo ambos os lados por e^{(k/m) t}, temos:
Passo 7
Aplicando a condição inicial v(0) = v₀, encontramos a constante C:
Então, C = v₀ + \frac{g m}{k}.
Resposta
A velocidade em função do tempo é: