Resolva a equação homogênea:
(x^3+y^3) d x+(3 x y^2) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
(x^3+y^3) dx+(3 x y^2) d y=0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata. Isso significa que podemos encontrar uma função cuja derivada total corresponde à equação que temos. Para isso, vamos seguir alguns passos para encontrar essa função e, assim, resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M(x, y) = x^3 + y^3 e N(x, y) = 3x y^2 na nossa equação:
partial Mpartial y = 3y^2
partial Npartial x = 3y^2
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a :
Como , a equação é realmente exata.

Passo 3

Agora que confirmamos que a equação é exata, vamos encontrar a função dF = M dx + N dy tal que:
F(x, y) = integral M(x, y) , dx = integral (x^3 + y^3) , dx = x^44 + y^3x + h(y)
Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de que aparece porque, ao integrar em relação a , pode haver uma “constante” que na verdade depende de .

Passo 4

Para determinar partial Fpartial y = 3y^2x + h'(y) = N(x, y) = 3x y^2 , vamos derivar 3y^2x + h'(y) = 3x y^2 em relação a h'(y) = 0 e igualar à função h(y) = C :
Comparando os dois lados:
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante.

Passo 5

Agora, substituímos F(x, y) = x^44 + y^3x + C de volta na expressão de x^44 + y^3x = K :
x^4 + 4x y^3 = 4K
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos a uma constante :
Multiplicando todos os termos por 4 para simplificar:
Podemos renomear como uma nova constante , já que é arbitrário.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x^4 + 4x y^3 = C
Onde é uma constante arbitrária.

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