Resolva a equação homogênea:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata. Isso significa que podemos encontrar uma função
cuja derivada total corresponde à equação que temos. Para isso, vamos seguir alguns passos para encontrar essa função e, assim, resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa equação:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a equação é realmente exata.
Passo 3
Agora que confirmamos que a equação é exata, vamos encontrar a função
tal que:
Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que aparece porque, ao integrar em relação a
, pode haver uma “constante” que na verdade depende de
.
Passo 4
Para determinar
, vamos derivar
em relação a
e igualar à função
:
Comparando os dois lados:
Isso implica que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma constante.
Passo 5
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos
a uma constante
:
Multiplicando todos os termos por 4 para simplificar:
Podemos renomear
como uma nova constante
, já que
é arbitrário.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.