Resolva a equação homogênea:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata. Isso significa que podemos encontrar uma função cuja derivada total corresponde à equação que temos. Para isso, vamos seguir alguns passos para encontrar essa função e, assim, resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na nossa equação:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a :
Como , a equação é realmente exata.

Passo 3

Agora que confirmamos que a equação é exata, vamos encontrar a função tal que:
Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de que aparece porque, ao integrar em relação a , pode haver uma “constante” que na verdade depende de .

Passo 4

Para determinar , vamos derivar em relação a e igualar à função :
Comparando os dois lados:
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante.

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos a uma constante :
Multiplicando todos os termos por 4 para simplificar:
Podemos renomear como uma nova constante , já que é arbitrário.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Um objeto de massa m é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial . Considerando a resistência do ar proporcional à velocidade, a equação do movimento é dada por
onde g é a aceleração da gravidade e k é a constante de proporcionalidade da força de resistência do ar. Determine a velocidade em função do tempo.
O que são acoplamento e coesão na Orientação a objetos?
Faça uma função que dada uma frase retorne uma outra frase que contenha as mesmas palavras da frase de entrada na ordem inversa, sem letras maiúsculas, e sem a pontuação.
DICA: remova a pontuação da frase, usando a função que você fez pro exercício anterior. Para reaproveitar uma função feita no Machine Teaching, copie o código completo da função e cole na caixa de resposta do exercício onde quer utilizá-la. Faça então a função pedida no exercício, embaixo da que você colou, e dentro dela você irá chamar a que está reutilizando.
Exemplo:
frase lida: Nossa, como eu gosto de chocolate.
frase alterada: chocolate de gosto eu como nossa
Dado um texto armazenado em uma string, faça a função que conte o número de frases que aparecem neste texto. Cada frase no texto é terminada com um ponto final, um ponto de exclamação, um ponto de interrogação ou três pontos em sequência (reticências). Pontos de exclamação ou de interrogação não aparecerão repetidos em sequência no texto e esses símbolos só aparecem no texto terminando uma frase. No exemplo a seguir, são contadas 4 frases: Preciso tirar um cochilo. Meus Deus! Que horas são? Vou perder a minha aula…