Um observador vê um prédio, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60^circ. Afastando-se do edifício mais 30 m , passa a ver o edificio sob ângulo de 45^circ. Qual é a altura do prédio?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de trigonometria envolvendo ângulos de elevação e distâncias. Um observador vê um prédio sob um ângulo de . Depois de se afastar 30 metros, o ângulo de visão muda para . A gente precisa descobrir qual é a altura desse prédio.

Passo 2

Vamos começar chamando a altura do prédio de e a distância inicial do observador até a base do prédio de metros. Quando o observador se afasta mais 30 metros, a nova distância até o prédio passa a ser metros.

Passo 3

Agora, vamos usar a tangente nos dois ângulos para relacionar a altura do prédio com as distâncias:
Para o ângulo de tan(60^circ) = hx :
tan(45^circ) = hx + 30
Para o ângulo de :

Passo 4

Sabemos que raiz3 = hx e 1 = hx + 30 . Substituindo esses valores nas equações:

Passo 5

Da segunda equação, podemos expressar h = x + 30 em função de :

Passo 6

Agora, substituímos raiz3 = x + 30x na primeira equação:
x cdot raiz3 = x + 30
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Isolando x cdot (raiz3 - 1) = 30 :
x = 30raiz3 - 1

Passo 8

Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por x = 30 (raiz3 + 1)(raiz3)^2 - (1)^2 = 30 (raiz3 + 1)3 - 1 = 30 (raiz3 + 1)2 = 15 (raiz3 + 1) :

Passo 9

Agora, encontramos h = 15 (raiz3 + 1) + 30 usando h = 15raiz3 + 15 + 30 :
h = 15raiz3 + 45

Passo 10

Aproximando h approx 15 times 1,732 + 45 approx 25,98 + 45 approx 70,98 metros :

Resposta

A altura do prédio é aproximadamente 71 metros.

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