Observe algumas leis de formação de funções polinomiais de segundo grau. f(x) = x² - 3x g(x) = -x² - 2x - 1 h(x) = -2x² + 4x - 2 k(x) = -3x² + 6x - 4 p(x) = 2x² + 2 q(x) = x² + 10x + 16. Quais funções:
a. Possuem dois zeros de função reais e distintos?
b. Possuem dois zeros de função reais e idênticos?
c. Não possuem zeros de função reais?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para analisarmos várias funções polinomiais de segundo grau e identificar quais delas têm dois zeros reais e distintos, quais têm dois zeros reais iguais e quais não têm zeros reais. O conteúdo que vamos usar aqui é o estudo das raízes de funções quadráticas, usando o discriminante da equação do segundo grau para determinar a natureza das raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de segundo grau tem a forma geral:
f(x) = ax^2 + bx + c
Para encontrar os zeros dessa função (ou seja, os valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $), usamos a fórmula de Bhaskara:
x
O que está dentro da raiz quadrada, $ \Delta = b^2 - 4ac $, é chamado de discriminante. Ele nos diz a natureza das raízes:
  • Se $ \Delta > 0 $: duas raízes reais e distintas.
  • Se $ \Delta = 0 $: duas raízes reais e iguais.
  • Se $ \Delta < 0 $: não há raízes reais.
Vamos aplicar isso para cada função dada.

Passo 3

Função f(x) = x² - 3x
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -3 $, e $ c = 0 $.
Calculando o discriminante:
a = 1
Como $ \Delta = 9 > 0 $, a função tem duas raízes reais e distintas.

Passo 4

Função g(x) = -x² - 2x - 1
Aqui, $ a = -1 $, $ b = -2 $, e $ c = -1 $.
Calculando o discriminante:
a = -1
Como $ \Delta = 0 $, a função tem duas raízes reais e iguais.

Passo 5

Função h(x) = -2x² + 4x - 2
Aqui, $ a = -2 $, $ b = 4 $, e $ c = -2 $.
Calculando o discriminante:
a = -2
Como $ \Delta = 0 $, a função tem duas raízes reais e iguais.

Passo 6

Função k(x) = -3x² + 6x - 4
Aqui, $ a = -3 $, $ b = 6 $, e $ c = -4 $.
Calculando o discriminante:
a = -3
Como $ \Delta = -12 < 0 $, a função não tem raízes reais.

Passo 7

Função p(x) = 2x² + 2
Aqui, $ a = 2 $, $ b = 0 $, e $ c = 2 $.
Calculando o discriminante:
a = 2
Como $ \Delta = -16 < 0 $, a função não tem raízes reais.

Passo 8

Função q(x) = x² + 10x + 16
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 10 $, e $ c = 16 $.
Calculando o discriminante:
a = 1
Como $ \Delta = 36 > 0 $, a função tem duas raízes reais e distintas.

Resposta

a. As funções que possuem dois zeros reais e distintos são: $ f(x) $ e $ q(x) $.
b. As funções que possuem dois zeros reais e idênticos são: $ g(x) $ e $ h(x) $.
c. As funções que não possuem zeros reais são: $ k(x) $ e $ p(x) $.

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