Obtenha a expressão para o comprimento de onda de uma partícula movendo com velocidade relativística.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a expressão para o comprimento de onda de uma partícula que está se movendo com velocidade relativística, ou seja, uma velocidade próxima à da luz. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica e relatividade especial. Precisamos lembrar da ideia do comprimento de onda associado a partículas (como o elétron) e como a relatividade afeta o momento dessa partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o comprimento de onda de de Broglie. Louis de Broglie propôs que partículas com massa também exibem propriedades ondulatórias, e o comprimento de onda associado a uma partícula é dado por:
lambda = hp
onde:
  • lambda é o comprimento de onda,
  • h é a constante de Planck,
  • p é o momento da partícula.

Passo 3

Em velocidades não relativísticas, o momento linear p é simplesmente o produto da massa m pela velocidade v. Mas quando a partícula se aproxima da velocidade da luz, precisamos considerar os efeitos da relatividade especial. Nesse caso, o momento relativístico é dado por:
p = gamma m v
onde:
  • gamma é o fator de Lorentz, definido por gamma = 1raiz1 - v^2c^2,
  • c é a velocidade da luz no vácuo.

Passo 4

Agora, substituímos a expressão do momento relativístico na fórmula de de Broglie:
lambda = hgamma m v
Isso nos dá a relação entre o comprimento de onda e a velocidade relativística da partícula.

Passo 5

Podemos deixar a expressão mais completa substituindo gamma:
lambda = hm vraiz1 - v^2c^2
Simplificando, temos:
lambda = h raiz1 - v^2c^2m v
Essa é a expressão para o comprimento de onda de uma partícula em movimento com velocidade relativística.

Resposta

A expressão para o comprimento de onda de uma partícula movendo-se com velocidade relativística é:
lambda = h raiz1 - v^2c^2m v

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