Obtenha a expressão para o comprimento de onda de uma partícula movendo com velocidade relativística.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a expressão para o comprimento de onda de uma partícula que está se movendo com velocidade relativística, ou seja, uma velocidade próxima à da luz. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica e relatividade especial. Precisamos lembrar da ideia do comprimento de onda associado a partículas (como o elétron) e como a relatividade afeta o momento dessa partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o comprimento de onda de de Broglie. Louis de Broglie propôs que partículas com massa também exibem propriedades ondulatórias, e o comprimento de onda associado a uma partícula é dado por:
onde:
-
é o comprimento de onda, -
é a constante de Planck, -
é o momento da partícula.
Passo 3
Em velocidades não relativísticas, o momento linear
é simplesmente o produto da massa
pela velocidade
. Mas quando a partícula se aproxima da velocidade da luz, precisamos considerar os efeitos da relatividade especial. Nesse caso, o momento relativístico é dado por:
onde:
-
é o fator de Lorentz, definido por , -
é a velocidade da luz no vácuo.
Passo 4
Agora, substituímos a expressão do momento relativístico na fórmula de de Broglie:
Isso nos dá a relação entre o comprimento de onda e a velocidade relativística da partícula.
Passo 5
Podemos deixar a expressão mais completa substituindo
:
Simplificando, temos:
Essa é a expressão para o comprimento de onda de uma partícula em movimento com velocidade relativística.
Resposta
A expressão para o comprimento de onda de uma partícula movendo-se com velocidade relativística é: