Usando o modelo de Bohr e a quantização do momento angular, mostre que o raio de cada órbita do átomo de
é dado por
, onde
, sendo
a constante elétrica. Mostre também que e energia do é dada por
e obtenha a energia do estado fundamental.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio. A ideia é mostrar como calcular o raio das órbitas dos elétrons e a energia associada a cada nível eletrônico. Para isso, vamos usar conceitos de quantização do momento angular e algumas fórmulas básicas da física. Precisaremos entender um pouquinho sobre forças elétricas, momento angular e energia em sistemas físicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no modelo de Bohr, o elétron se move ao redor do núcleo em órbitas circulares. A força elétrica de atração entre o próton do núcleo e o elétron fornece a força centrípeta necessária para manter o elétron em órbita.
A força elétrica é dada por:
onde:
- $ k $ é a constante elétrica,
- $ e $ é a carga do elétron,
- $ r $ é o raio da órbita.
A força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita é:
onde:
- $ m_{e} $ é a massa do elétron,
- $ v $ é a velocidade do elétron.
Como a força elétrica fornece a força centrípeta:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a quantização do momento angular. No modelo de Bohr, o momento angular do elétron é quantizado e dado por:
onde:
- $ L $ é o momento angular,
- $ n $ é o número quântico principal (1, 2, 3, …),
- $ \hbar $ é a constante de Dirac ($ \hbar = \frac{h}{2\pi} $).
A partir dessa equação, podemos expressar a velocidade $ v $:
Passo 4
Vamos substituir a expressão de $ v $ que encontramos na equação da força:
Simplificando:
Agora, isolamos $ r $:
Passo 5
Observamos que a expressão para $ r $ pode ser escrita como:
onde:
Esse $ a_{0} $ é conhecido como o raio de Bohr, que é o raio da órbita no estado fundamental ($ n = 1 $).
Passo 6
Agora, vamos calcular a energia total do elétron na órbita. A energia total $ E $ é a soma da energia cinética $ K $ e da energia potencial $ U $.
A energia cinética é:
A energia potencial eletrostática é:
Então, a energia total é:
Passo 7
Vamos substituir $ v $ usando a expressão que encontramos anteriormente:
Então,
Substituindo $ r $ pela expressão que encontramos:
Então,
Passo 8
Agora, vamos substituir $ K $ e $ U $ na expressão da energia total $ E $:
Mas sabemos que:
Portanto,
Então,
Substituindo $ K $:
Passo 9
Para encontrar a energia do estado fundamental, basta substituir $ n = 1 $:
Resposta
Assim, mostramos que o raio de cada órbita do átomo de hidrogênio é dado por:
onde:
E a energia associada a cada nível eletrônico é:
A energia do estado fundamental ($ n = 1 $) é: