Usando o modelo de Bohr e a quantização do momento angular, mostre que o raio de cada órbita do átomo de H é dado por rn=a0 n^2, onde a0=hbar^2k e^2 me, sendo k a constante elétrica. Mostre também que e energia do é dada por En=-me k^2 e^42 hbar^2 1n^2 e obtenha a energia do estado fundamental.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio. A ideia é mostrar como calcular o raio das órbitas dos elétrons e a energia associada a cada nível eletrônico. Para isso, vamos usar conceitos de quantização do momento angular e algumas fórmulas básicas da física. Precisaremos entender um pouquinho sobre forças elétricas, momento angular e energia em sistemas físicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no modelo de Bohr, o elétron se move ao redor do núcleo em órbitas circulares. A força elétrica de atração entre o próton do núcleo e o elétron fornece a força centrípeta necessária para manter o elétron em órbita.
A força elétrica é dada por:
F = k e^2r^2
onde:
  • $ k $ é a constante elétrica,
  • $ e $ é a carga do elétron,
  • $ r $ é o raio da órbita.
A força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita é:
k
onde:
  • $ m_{e} $ é a massa do elétron,
  • $ v $ é a velocidade do elétron.
Como a força elétrica fornece a força centrípeta:
e
Simplificando:
r

Passo 3

Agora, vamos aplicar a quantização do momento angular. No modelo de Bohr, o momento angular do elétron é quantizado e dado por:
L = me v r = n hbar
onde:
  • $ L $ é o momento angular,
  • $ n $ é o número quântico principal (1, 2, 3, …),
  • $ \hbar $ é a constante de Dirac ($ \hbar = \frac{h}{2\pi} $).
A partir dessa equação, podemos expressar a velocidade $ v $:
L

Passo 4

Vamos substituir a expressão de $ v $ que encontramos na equação da força:
v
Simplificando:
k e^2 = me ( n hbarme r )^2 r
k e^2 = n^2 hbar^2me r^2 r
Agora, isolamos $ r $:
k e^2 = n^2 hbar^2me r

Passo 5

Observamos que a expressão para $ r $ pode ser escrita como:
r
onde:
rn = a0 n^2
Esse $ a_{0} $ é conhecido como o raio de Bohr, que é o raio da órbita no estado fundamental ($ n = 1 $).

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia total do elétron na órbita. A energia total $ E $ é a soma da energia cinética $ K $ e da energia potencial $ U $.
A energia cinética é:
E
A energia potencial eletrostática é:
K
Então, a energia total é:
U

Passo 7

Vamos substituir $ v $ usando a expressão que encontramos anteriormente:
v
Então,
v = n hbarme r
Substituindo $ r $ pela expressão que encontramos:
K = 12 me ( n hbarme r )^2 = n^2 hbar^22 me r^2
Então,
r

Passo 8

Agora, vamos substituir $ K $ e $ U $ na expressão da energia total $ E $:
K
Mas sabemos que:
U
Portanto,
E
Então,
E = me k^2 e^42 hbar^2 n^2 - k e^2r
Substituindo $ K $:
k e^2r = me v^2 rr = me v^2 = 2 K1

Passo 9

Para encontrar a energia do estado fundamental, basta substituir $ n = 1 $:
n = 1

Resposta

Assim, mostramos que o raio de cada órbita do átomo de hidrogênio é dado por:
rn = a0 n^2
onde:
a0 = hbar^2k e^2 me
E a energia associada a cada nível eletrônico é:
En = -me k^2 e^42 hbar^2 1n^2
A energia do estado fundamental ($ n = 1 $) é:
n = 1

Exercícios relacionados