Obtenha uma expressão para a fugacidade e coeficiente de fugacidade a partir da equação de estado abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de termodinâmica que pede para a gente achar a fugacidade e o coeficiente de fugacidade usando uma equação de estado específica. A equação dada é:
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre fugacidade, que é como uma “pressão efetiva” que leva em conta as interações entre as moléculas. O coeficiente de fugacidade relaciona essa fugacidade com a pressão real. Vamos usar a termodinâmica e algumas técnicas de cálculo para chegar nas expressões que precisamos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a fugacidade
está relacionada à pressão
e ao coeficiente de fugacidade
pela relação:
Então, nosso objetivo é encontrar
e
.
Passo 3
A partir da equação de estado fornecida:
Podemos reescrever para isolar a pressão:
Isso nos dá uma relação direta entre
,
,
e
.
Passo 4
Para encontrar a fugacidade, usamos a definição termodinâmica que envolve a integral da derivada da energia livre. Mas de forma simplificada, a relação entre fugacidade e pressão pode ser expressa como:
Onde
é o fator de compressibilidade, que aqui podemos obter da nossa equação de estado.
Passo 5
Vamos calcular o fator de compressibilidade
a partir da equação de estado. Sabemos que:
Então, substituindo na nossa equação de estado:
Passo 6
Agora, substituímos
na integral para a fugacidade:
Simplificando dentro da integral.
Passo 7
Calculando a integral:
Então, temos:
Passo 8
Para encontrar a fugacidade
, exponenciamos ambos os lados:
Multiplicando por
:
Passo 9
Finalmente, o coeficiente de fugacidade
é dado por:
Resposta
A expressão para a fugacidade é:
E o coeficiente de fugacidade é: