Um ônibus turístico, com 40 lugares, transporta turistas em um passeio com a seguinte tabela de preços: . Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é R$ 20,00… Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo um ônibus turístico com 40 lugares. O preço da passagem depende de quantos lugares estão ocupados. Se todos os 40 lugares estiverem ocupados, cada passagem custa R
1,00 para cada assento vazio. Vamos entender como isso funciona e descobrir como calcular o preço das passagens dependendo da quantidade de lugares ocupados.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas coisas para facilitar. Vamos chamar de $ n $ o número de lugares vazios no ônibus. Como o total de lugares é 40, o número de passageiros será $ 40 - n $.
Passo 3
Sabemos que se todos os lugares estiverem ocupados ($ n = 0
20,00. A cada lugar vazio, o preço da passagem aumenta R$ 1,00. Então, o preço da passagem pode ser representado pela fórmula:
Onde:
- $ P $ é o preço da passagem.
- $ n $ é o número de assentos vazios.
Passo 4
Agora, queremos saber quanto arrecadaria o ônibus com diferentes quantidades de assentos vazios. Para isso, precisamos calcular a receita total, que é o preço da passagem multiplicado pelo número de passageiros. A receita $ R $ pode ser calculada por:
Substituindo $ P $ pela fórmula que encontramos:
Passo 5
Vamos expandir essa equação para simplificar:
Passo 6
Para encontrar o valor máximo da receita, podemos tratar essa equação como uma função quadrática da forma $ R = -n^2 + 20n + 800 $. Sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo, o que significa que o vértice representa o ponto máximo.
A fórmula para encontrar o vértice, ou seja, o valor de $ n $ que maximiza a receita, é:
Onde:
- $ a = -1 $
- $ b = 20 $
Então:
Passo 7
Com $ n = 10 $, vamos encontrar o preço da passagem:
E o número de passageiros será:
Passo 8
Agora, calculamos a receita máxima:
Resposta
A receita máxima que o ônibus pode arrecadar é de R$ 900,00, com 30 passageiros pagando R$ 30,00 cada passagem.