Um ônibus turístico, com 40 lugares, transporta turistas em um passeio com a seguinte tabela de preços: . Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é R$ 20,00… Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo um ônibus turístico com 40 lugares. O preço da passagem depende de quantos lugares estão ocupados. Se todos os 40 lugares estiverem ocupados, cada passagem custa R  20,00 Mas, se algum lugar ficar vago, o preço de cada passa>=m aumenta Rç 1,00 para cada assento vazio. Vamos entender como isso funciona e descobrir como calcular o preço das passagens dependendo da quantidade de lugares ocupados.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas coisas para facilitar. Vamos chamar de $ n $ o número de lugares vazios no ônibus. Como o total de lugares é 40, o número de passageiros será $ 40 - n $.

Passo 3

Sabemos que se todos os lugares estiverem ocupados ($ n = 0 n = 0 çé 20,00. A cada lugar vazio, o preço da passagem aumenta R$ 1,00. Então, o preço da passagem pode ser representado pela fórmula:
 20,00 A cada lugar vazio, o preço da passa>=m aumenta R
Onde:
  • $ P $ é o preço da passagem.
  • $ n $ é o número de assentos vazios.

Passo 4

Agora, queremos saber quanto arrecadaria o ônibus com diferentes quantidades de assentos vazios. Para isso, precisamos calcular a receita total, que é o preço da passagem multiplicado pelo número de passageiros. A receita $ R $ pode ser calculada por:
R
Substituindo $ P $ pela fórmula que encontramos:
R = P times (40 - n)

Passo 5

Vamos expandir essa equação para simplificar:
R = 20 times 40 - 20 times n + n times 40 - n times n
R = 800 - 20n + 40n - n^2
R = 800 + 20n - n^2

Passo 6

Para encontrar o valor máximo da receita, podemos tratar essa equação como uma função quadrática da forma $ R = -n^2 + 20n + 800 $. Sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo, o que significa que o vértice representa o ponto máximo.
A fórmula para encontrar o vértice, ou seja, o valor de $ n $ que maximiza a receita, é:
R = -n^2 + 20n + 800
Onde:
  • $ a = -1 $
  • $ b = 20 $
Então:
n

Passo 7

Com $ n = 10 $, vamos encontrar o preço da passagem:
n = 10
E o número de passageiros será:
P = 20 + 10 = R$ 30,00

Passo 8

Agora, calculamos a receita máxima:
R = 30 times 30 = R$ 900,00

Resposta

A receita máxima que o ônibus pode arrecadar é de R$ 900,00, com 30 passageiros pagando R$ 30,00 cada passagem.

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