Os operadores de levantamento e abaixamento mudam o valor de
em uma unidade:
em que
é uma constante. Pergunta: qual é o valor de
se as autofunções devem ser normalizadas? Dica: primeiro mostre que
é o conjugado hermitiano de
(já que
e
são observáveis, você deve supor que são também hermitianos… mas verifique, se quiser); então, use a Equação
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem os operadores de levantamento (
) e abaixamento (
) que, basicamente, aumentam ou diminuem o valor de
em uma unidade. A equação dada é:
Queremos encontrar o valor de
garantindo que as autofunções estejam normalizadas. Para isso, vamos usar conceitos de operadores hermitianos e as relações entre os operadores de momento angular, especificamente a relação:
Vamos precisar entender como os operadores se comportam e como a normalização das autofunções influencia o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é o adjunto hermitiano de
. Sabemos que os operadores
e
são observáveis e, portanto, são hermitianos (ou seja,
e
). Os operadores
são combinações lineares de
e
:
O adjunto hermitiano de
é:
Então, realmente,
é o adjunto hermitiano de
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos usar a equação dada para relacionar os operadores:
Aplicando essa equação na autofunção
, temos:
Sabemos que:
e
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agora, substituindo
na equação acima:
Igualando as duas expressões para
:
Logo:
Assumindo que
, para que a igualdade seja satisfeita e as autofunções fiquem normalizadas.
Resposta
O valor de
é dado por: