Os operadores de levantamento e abaixamento mudam o valor de m em uma unidade:
L pm ft^m=(At^m) ft^m=1
em que Ai^m é uma constante. Pergunta: qual é o valor de Ai^m se as autofunções devem ser normalizadas? Dica: primeiro mostre que Lz é o conjugado hermitiano de L pm(já que Lx e Ly são observáveis, você deve supor que são também hermitianos… mas verifique, se quiser); então, use a Equação
L^2=L pm Lmp+Lz^2 mp hbar Lz.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem os operadores de levantamento ( L+) e abaixamento ( L-) que, basicamente, aumentam ou diminuem o valor de m em uma unidade. A equação dada é:
Lpm ft^m = At^m ft^mpm1
Queremos encontrar o valor de At^m garantindo que as autofunções estejam normalizadas. Para isso, vamos usar conceitos de operadores hermitianos e as relações entre os operadores de momento angular, especificamente a relação:
L^2 = Lpm Lmp + Lz^2 mp hbar Lz
Vamos precisar entender como os operadores se comportam e como a normalização das autofunções influencia o valor de At^m.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que Lz é o adjunto hermitiano de Lpm. Sabemos que os operadores Lx e Ly são observáveis e, portanto, são hermitianos (ou seja, Lx^dag>=r = Lx e Ly^dag>=r = Ly). Os operadores Lpm são combinações lineares de Lx e Ly:
Lpm = Lx pm iLy
O adjunto hermitiano de Lpm é:
(Lpm)^dag>=r = Lx^dag>=r mp iLy^dag>=r = Lx mp iLy = Lmp
Então, realmente, Lmp é o adjunto hermitiano de Lpm, ou seja, Lpm^dag>=r = Lmp.

Passo 3

Agora, vamos usar a equação dada para relacionar os operadores:
L^2 = Lpm Lmp + Lz^2 mp hbar Lz
Aplicando essa equação na autofunção ft^m, temos:
L^2 ft^m = (Lpm Lmp + Lz^2 mp hbar Lz) ft^m
Sabemos que:
L^2 ft^m = hbar^2 l(l+1) ft^m
e
Lz ft^m = hbar m ft^m
Substituindo na equação:
hbar^2 l(l+1) ft^m = Lpm Lmp ft^m + hbar^2 m^2 ft^m mp hbar^2 m ft^m
Simplificando:
Lpm Lmp ft^m = hbar^2 [l(l+1) - m(m mp 1)] ft^m
Agora, substituindo Lpm ft^m = At^m ft^mpm1 na equação acima:
Lpm Lmp ft^m = Lpm (At^mmp1 ft^m) ) = At^mmp1 Lpm ft^m = At^mmp1 At^m ft^m
Igualando as duas expressões para Lpm Lmp ft^m:
At^mmp1 At^m ft^m = hbar^2 [l(l+1) - m(m mp 1)] ft^m
Logo:
At^m At^mmp1 = hbar^2 [l(l+1) - m(m mp 1)]
Assumindo que At^m = hbar raizl(l+1) - m(m pm 1), para que a igualdade seja satisfeita e as autofunções fiquem normalizadas.

Resposta

O valor de Ai^m é dado por:
Ai^m = hbar raizl(l+1) - m(m pm 1)

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