Um operário empurrou um bloco de 27 kg por uma distância de 9,2 m sobre um piso plano, com velocidade constante, aplicando uma força dirigida 32^circ abaixo da horizontal Se o coeficiente de atrito cinético é 0 , 2 0, (a) qual o trabalho realizado pelo operário sobre o bloco? (b) Com qual taxa o trabalho calculado no item anterior foi realizado?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operário que empurra um bloco de 27 kg por uma distância de em um piso plano, usando uma força que está inclinada abaixo da horizontal. Além disso, o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso é . Precisamos calcular:
(a) O trabalho realizado pelo operário sobre o bloco.
(b) A taxa com que esse trabalho foi realizado (ou seja, a potência).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de trabalho em física, forças envolvidas em movimentos com atrito e a definição de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no bloco. Como o bloco se move com velocidade constante, a força resultante sobre ele é zero (segunda lei de Newton). As forças envolvidas são:
  1. Peso ( ): , onde e .
  2. Força normal ( ): Como há uma força aplicada inclinada, a força normal não é apenas o peso. Ela é ajustada pela componente vertical da força aplicada.
  3. Força aplicada ( ): A força que o operário aplica, que tem uma direção abaixo da horizontal.
  4. Força de atrito ( ): , onde .
Vamos calcular cada uma dessas forças.

Passo 3

Primeiro, calculamos o peso do bloco:
P = m cdot g = 27,kg times 9,8,m/s^2 = 264,6,N

Passo 4

A força aplicada pelo operário está inclinada Fx = F cdot cos(theta) Fy = F cdot sin(theta) abaixo da horizontal. Vamos decompor essa força em suas componentes horizontal ( ) e vertical ( ):
Onde .

Passo 5

Como o bloco se move com velocidade constante, a força horizontal aplicada deve equilibrar a força de atrito:
Fx = fa
E a força normal é ajustada pela componente vertical da força aplicada:
N = P + Fy = P + F cdot sin(theta)

Passo 6

Vamos encontrar fa = mu cdot N = 0,20 times (264,6,N + F cdot sin(32^circ)) :
F cdot cos(32^circ) = 0,20 times (264,6 + F cdot sin(32^circ))
Mas como , podemos substituir:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 7

Vamos chamar F times 0,8480 = 0,20 times (264,6 + F times 0,5299) de aproximadamente 0,8480 e F times 0,8480 = 52,92 + F times 0,10598 de aproximadamente 0,5299.
Substituindo:
0,8480F - 0,10598F = 52,92 0,74202F = 52,92 F = 52,920,74202 approx 71,37,N
Distribuindo o :
Vamos isolar :

Passo 8

Agora que temos a força aplicada W = F cdot d cdot cos(phi) , podemos calcular o trabalho realizado pelo operário. O trabalho ( W = Fx cdot d = fa cdot d ) é dado por:
fa = 0,20 times (264,6 + 71,37 times 0,5299) approx 0,20 times (264,6 + 37,8) = 0,20 times 302,4 = 60,48,N
Onde:
  • W = 60,48,N times 9,2,m approx 556,42,J é a força aplicada,
  • é a distância,
  • é o ângulo entre a força e a direção do movimento.
No nosso caso, a força é aplicada abaixo da horizontal, então . Porém, para o trabalho, usamos a componente da força na direção do movimento, que já é . Mas como já é a força efetiva na direção do movimento, podemos simplificar:
Já sabemos que
Calculando :
Então,

Passo 9

Agora, vamos calcular a taxa com que esse trabalho foi realizado, ou seja, a potência ( P = Wt ). A potência é definida como:
v = dt Rightarrow t = dv
Onde P = F cdot v é o trabalho e v = PF é o tempo. Porém, o enunciado não fornece o tempo. Mas como o bloco se move com velocidade constante, podemos encontrar o tempo usando:
v = dt Rightarrow t = dv
Primeiro, precisamos calcular a velocidade Fx = fa = 60,48,N v = constante . Como o movimento é com velocidade constante, a força aplicada P = Fx cdot v e a velocidade pode ser relacionada com a potência.
Outra forma de expressar potência é:
P = Fx cdot dt
Para encontrar P cdot t = Fx cdot d , rearranjamos:
Mas precisamos de uma abordagem melhor. Vamos usar a relação entre trabalho, força e distância para encontrar .
Sabemos que:
E também sabemos que:
Não temos , então precisamos de outra estratégia. Vamos usar a potência diretamente:
Como , então:
Rearranjando:
Como não temos , parece que precisamos de mais informações. Porém, considerando que a potência também pode ser calculada como a derivada do trabalho em relação ao tempo, e sem , vamos supor que a potência foi calculada usando a velocidade.
Mas, na verdade, como não temos o tempo, talvez o exercício espera que consideremos a potência média com base na força e velocidade.
Assumindo que a velocidade não é fornecida, pode haver uma interpretação diferente. Talvez o enunciado tenha mais informações ou espera-se uma resposta em termos de força e distância.
Porém, seguindo o que calculamos para o trabalho, vamos considerar que a potência não pode ser determinada com as informações dadas. Mas, para fins didáticos, vamos supor que o tempo seja necessário para calcular a potência.

Resposta

(a) O trabalho realizado pelo operário sobre o bloco é aproximadamente .
(b) A taxa com que esse trabalho foi realizado (potência) não pode ser determinada com as informações fornecidas, já que o tempo necessário para a realização do trabalho não foi especificado.

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