O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, 1/2 de probabilidade de acertar um dardo no alvo. A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a 9/10. Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada. Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma competição de lançamentos de dardos onde, atualmente, cada jogador lança 3 dardos por rodada. A regra diz que o jogador pontua se acertar pelo menos um dardo no alvo. A probabilidade de acertar um dardo é de ½. O organizador quer deixar a competição mais emocionante aumentando o número de dardos lançados por rodada, de forma que a chance de pontuar seja de pelo menos 9/10. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de probabilidade, especificamente sobre eventos independentes e probabilidade complementar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a probabilidade de pontuar em uma rodada. Pontuar significa acertar pelo menos um dardo. A maneira mais fácil de calcular isso é usar a probabilidade complementar, ou seja, calcular a chance de não acertar nenhum dardo e subtrair isso de 1.
Passo 3
A probabilidade de não acertar um único dardo é de 1 - ½ = ½. Se lançarmos vários dardos, e cada lançamento é independente, a probabilidade de não acertar nenhum dos n dardos é (½)^n.
Passo 4
Então, a probabilidade de acertar pelo menos um dardo em n lançamentos é:
Queremos que essa probabilidade seja maior ou igual a 9/10 (0,9). Então, temos a inequação:
Passo 5
Vamos resolver a inequação para encontrar o valor mínimo de n:
Subtraindo 1 dos dois lados:
Multiplicando por -1 (lembre-se que isso inverte a desigualdade):
Passo 6
Para resolver para n, vamos usar logaritmos. Aplicando logaritmo na base ½ dos dois lados:
Usando a mudança de base:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
Como n precisa ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz a condição é 4 dardos. Portanto, a quantidade mínima de dardos que deve ser lançada em cada rodada para que a probabilidade de pontuar seja de pelo menos 9/10 é 4 dardos.