Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (k=400N/m). Em certo instante t a posição (medida a partir de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são x = 0,100m, v = -13,6m/s e a = -123m/s2.
Calcule a frequência de oscilação, a massa do bloco e a amplitude do movimento (use somatório de forças igual a zero).
Calcule a frequência de oscilação, a massa do bloco e a amplitude do movimento (use somatório de forças igual a zero).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um oscilador formado por um bloco preso a uma mola com constante elástica $ k = 400, N/m $. Em um certo instante, temos a posição $ x = 0,100, m $, a velocidade $ v = -13,6, m/s $ e a aceleração $ a = -123, m/s² $ do bloco. Nosso objetivo é descobrir três coisas: a frequência de oscilação, a massa do bloco e a amplitude do movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física de oscilações harmônicas, como a relação entre força, massa, aceleração e a fórmula da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para um oscilador harmônico simples, a força exercida pela mola é dada por $ F = -k \cdot x $, onde $ k $ é a constante da mola e $ x $ é o deslocamento da posição de equilíbrio. A segunda lei de Newton diz que $ F = m \cdot a $, onde $ m $ é a massa e $ a $ é a aceleração.
Passo 3
Vamos igualar as duas expressões para a força:
Isso nos ajuda a relacionar a massa do bloco com os dados fornecidos.
Passo 4
Sabemos que $ k = 400, N/m $, $ a = -123, m/s² $ e $ x = 0,100, m $. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 5
Simplificando a equação:
Agora, vamos resolver para $ m $:
Passo 6
Pronto, agora já temos a massa do bloco: aproximadamente $ 0,325 , kg $.
Passo 7
Vamos agora calcular a frequência de oscilação. A frequência angular $ \omega $ é dada por:
E a frequência $ f $ está relacionada à frequência angular por:
Passo 8
Primeiro, calculamos $ \omega $:
Passo 9
Agora, calculamos a frequência $ f $:
Passo 10
Finalmente, vamos encontrar a amplitude do movimento. Sabemos que a posição $ x $ em um instante específico é dada por:
Onde $ A $ é a amplitude, $ \omega $ a frequência angular, $ t $ o tempo e $ \phi $ a fase inicial. Como estamos lidando com um instante específico, e queremos a amplitude máxima, observamos que o valor máximo que $ x $ pode alcançar é $ A $.
No instante dado, $ x = 0,100, m $. Porém, precisamos considerar a relação entre $ x $, $ v $ e $ a $ para encontrar $ A $. Usando a equação da energia em oscilações harmônicas:
Passo 11
Substituindo os valores:
Resposta
A frequência de oscilação é aproximadamente $ 5,58, Hz $, a massa do bloco é cerca de $ 0,325, kg $ e a amplitude do movimento é $ 0,400, m $.