Um oscilador harmônico simples e formado por um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k. Em um dado instante de tempo t1 (não conhecido) a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema) é x(t1)=X, a velocidade é v(t1)=-V e a aceleração é a(t1)=-A. Em função dos dados do problema (X, V e A).
Massa do bloco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um oscilador harmônico simples, que é um sistema onde uma massa m está presa a uma mola com constante elástica k. Em um certo instante t1, a posição da massa é X, a velocidade é -V e a aceleração é -A. Nosso objetivo aqui é descobrir a massa do bloco ( m) usando esses dados: X, V e A.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das leis fundamentais que regem o movimento de um oscilador harmônico simples. A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante ( F) sobre a massa é igual à massa vezes a aceleração ( F = m cdot a). Para uma mola, a força também é dada por F = -k cdot x, onde k é a constante elástica da mola e x é a posição em relação ao ponto de equilíbrio.

Passo 3

Igualando as duas expressões para a força, temos:
m cdot a = -k cdot x
Queremos isolar a massa m, então vamos rearranjar a equação:
m = -k cdot xa

Passo 4

No instante t1, sabemos que a posição é x(t1) = X e a aceleração é a(t1) = -A. Substituindo esses valores na equação:
m = -k cdot X-A = k cdot XA

Passo 5

Agora, precisamos expressar a constante elástica k em termos dos outros dados que temos. Para isso, vamos usar a relação entre a velocidade máxima ( Vmax) e a amplitude ( A) no movimento harmônico simples:
Vmax = omega cdot A
onde omega é a frequência angular, e sabemos que omega = raizkm.

Passo 6

Rearranjando a equação para omega:
omega = raizkm
Substituindo na expressão da velocidade máxima:
V = raizkm cdot A

Passo 7

Agora, vamos isolar k nessa equação:
V = A cdot raizkm Rightarrow VA = raizkm Rightarrow (VA)^2 = km Rightarrow k = m cdot (VA)^2

Passo 8

Voltando à expressão que tínhamos para m:
m = k cdot XA
Substituindo k pela expressão encontrada:
m = m cdot (VA)^2 cdot XA

Passo 9

Agora, resolvendo para m, percebemos que podemos cancelar o m dos dois lados:
m = m cdot V^2 cdot XA^3 Rightarrow 1 = V^2 cdot XA^3 Rightarrow m = V^2 cdot XA^3

Resposta

A massa do bloco é dada por:
m = V^2 cdot XA^3

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