Um oscilador harmônico simples e formado por um bloco de massa
preso a uma mola de constante elástica
. Em um dado instante de tempo
(não conhecido) a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema) é
, a velocidade é
e a aceleração é
. Em função dos dados do problema
e
.
Massa do bloco.
Massa do bloco.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um oscilador harmônico simples, que é um sistema onde uma massa
está presa a uma mola com constante elástica
. Em um certo instante
, a posição da massa é
, a velocidade é
e a aceleração é
. Nosso objetivo aqui é descobrir a massa do bloco (
) usando esses dados:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das leis fundamentais que regem o movimento de um oscilador harmônico simples. A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante (
) sobre a massa é igual à massa vezes a aceleração (
). Para uma mola, a força também é dada por
, onde
é a constante elástica da mola e
é a posição em relação ao ponto de equilíbrio.
Passo 3
Igualando as duas expressões para a força, temos:
Queremos isolar a massa
, então vamos rearranjar a equação:
Passo 4
No instante
, sabemos que a posição é
e a aceleração é
. Substituindo esses valores na equação:
Passo 5
Agora, precisamos expressar a constante elástica
em termos dos outros dados que temos. Para isso, vamos usar a relação entre a velocidade máxima (
) e a amplitude (
) no movimento harmônico simples:
onde
é a frequência angular, e sabemos que
.
Passo 6
Rearranjando a equação para
:
Substituindo na expressão da velocidade máxima:
Passo 7
Agora, vamos isolar
nessa equação:
Passo 8
Voltando à expressão que tínhamos para
:
Substituindo
pela expressão encontrada:
Passo 9
Agora, resolvendo para
, percebemos que podemos cancelar o
dos dois lados:
Resposta
A massa do bloco é dada por: