O palco de um teatro tem a forma de um trapézio isósceles cujas medidas de suas linhas de frente e de fundo são respectivamente 15 m e 9 m. Se a medida de cada uma de suas diagonais é 15 m, então a medida da área do palco, em m², é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um palco de teatro com formato de trapézio isósceles. As bases desse trapézio medem 15 metros (linha da frente) e 9 metros (linha de fundo). Além disso, as diagonais do trapézio também medem 15 metros cada. Nosso objetivo é encontrar a área desse palco em metros quadrados. Para isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados aos trapézios e às suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área $ A $ de um trapézio é dada pela fórmula:
A
onde:
  • $ B $ é a base maior (15 m),
  • $ b $ é a base menor (9 m),
  • $ h $ é a altura do trapézio, que precisamos encontrar.
Para encontrar a altura $ h $, vamos usar as propriedades do trapézio isósceles e as diagonais que conhecemos.

Passo 3

Em um trapézio isósceles, os lados não paralelos (os “braços” do trapézio) são iguais, e as diagonais também são iguais. Vamos desenhar uma altura a partir de uma das bases para facilitar nossos cálculos.
Ao traçarmos a altura, dividimos o trapézio em dois triângulos retângulos e um retângulo no meio. A base maior tem 15 m e a base menor 9 m, então a diferença entre elas é 6 m. Como o trapézio é isósceles, essa diferença é dividida igualmente nos dois lados, ou seja, cada lado horizontal dos triângulos retângulos é 3 m.

Passo 4

Agora, vamos focar em um dos triângulos retângulos formados. Sabemos que a hipotenusa desse triângulo é a diagonal do trapézio, que mede 15 m, e um dos catetos é 3 m (a parte horizontal que calculamos no passo anterior).
Vamos chamar a altura do trapézio de $ h $. Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
h
h^2 + 3^2 = 15^2
h^2 + 9 = 225
h^2 = 225 - 9
h^2 = 216
h = raiz216

Passo 5

Agora que temos a altura $ h $, podemos substituir os valores na fórmula da área do trapézio:
h
A = (15 + 9) times 14,72
A = 24 times 14,72
A = 352,82 ²

Resposta

A área do palco é de aproximadamente 176,4 m².

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