Um fabricante de garrafas, ao analisar o ritmo da sua produção, observou que suas máquinas produziam, aproximadamente, uma quantidade de garrafas segundo a lei da função: G(t)=200+80.sen(πt6+π3), onde G(t) representa o número de garrafas produzidas no tempo t em horas. Qual é a produção máxima (por hora) das máquinas dessa fábrica e em quais horários do dia essa produção ocorre?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde uma fábrica de garrafas está observando quanto produzem ao longo do tempo. A função que descreve isso é $ G(t) = 200 + 80 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) $, onde $ G(t) $ é o número de garrafas produzidas em $ t $ horas. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a produção máxima por hora dessas máquinas e em quais horários isso acontece. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho de funções trigonométricas, especificamente o seno, e como encontrar seus valores máximos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função: $ G(t) = 200 + 80 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) $. Aqui, temos uma constante 200 que representa uma produção base, mais uma parte que varia com o seno. Sabemos que a função seno oscila entre -1 e 1. Então, para encontrar a produção máxima, precisamos descobrir qual é o valor máximo que a parte $ 80 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) $ pode alcançar.

Passo 3

Como o seno varia de -1 a 1, multiplicando por 80, teremos que $ 80 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) $ varia de -80 a 80. Portanto, a produção total $ G(t) $ varia de $ 200 - 80 = 120 $ garrafas por hora no mínimo, até $ 200 + 80 = 280 $ garrafas por hora no máximo. Então, a produção máxima é 280 garrafas por hora.

Passo 4

Agora, para descobrir em quais horários essa produção máxima ocorre, precisamos saber quando o seno alcança seu valor máximo, que é 1. Vamos resolver a equação:
sin(pi t6 + pi3) = 1
Isso acontece quando o ângulo dentro do seno é igual a $ \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, onde $ k $ é qualquer número inteiro. Então:
pi2 + 2pi k

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ t $:
Primeiro, subtraímos $ \frac{\pi}{3} $ de ambos os lados:
t
Simplificando os termos constantes:
pi3
Multiplicando ambos os lados por 6 e dividindo por $ \pi $:
pi t6 = pi2 - pi3 + 2pi k

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores de $ t $ dentro de um dia (24 horas), ou seja, valores de $ k $ que fazem $ t $ estar entre 0 e 24.
Para $ k = 0 $:
t
Para $ k = 1 $:
k
Para $ k = 2 $:
t
Então, os horários são às 1 hora e às 13 horas.

Resposta

A produção máxima é de 280 garrafas por hora, ocorrendo às 1 hora e às 13 horas do dia.

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