A parábola definida por y = x² + mx + 9 será tangente aos eixos das abscissas se, e somente:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a parábola definida pela equação $ y = x^2 + m x + 9 $ e queremos descobrir para quais valores de $ m $ essa parábola será tangente aos eixos das abscissas. Isso envolve entender conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas e condições de tangência.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma parábola ser tangente ao eixo das abscissas. O eixo das abscissas é o eixo $ x $. Uma parábola é tangente ao eixo $ x $ quando ela toca o eixo $ x $ em apenas um ponto. Isso acontece quando a equação quadrática tem uma única solução real, ou seja, quando o discriminante é igual a zero.
Passo 3
Lembre-se que a forma geral de uma equação quadrática é $ y = a x^2 + b x + c $. O discriminante $ \Delta $ dessa equação é dado por:
Quando $ \Delta = 0 $, a equação tem apenas uma solução real, indicando que a parábola toca o eixo $ x $ em um único ponto (é tangente).
Passo 4
Aplicando isso à nossa equação $ y = x^2 + m x + 9 $, identificamos os coeficientes:
Calculamos o discriminante:
Passo 5
Para que a parábola seja tangente ao eixo $ x $, o discriminante deve ser zero:
Resolvendo para $ m $:
Resposta
Os valores de $ m $ que tornam a parábola $ y = x^2 + m x + 9 $ tangente aos eixos das abscissas são $ m = 6 $ e $ m = -6 $.