Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (1,4),(-2, 6) e (0,8). Faça um esboço dessa situação e determine as coordenadas do quarto vértice deste paralelogramo.(Dica: As diagonais de um paralelogramo se encontram no ponto médio.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria sobre paralelogramos. A gente tem as coordenadas de três vértices consecutivos de um paralelogramo: (1,4), (-2,6) e (0,8). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do quarto vértice. Para isso, vamos usar o conceito de que as diagonais de um paralelogramo se encontram no ponto médio.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os três vértices que já conhecemos. Vamos chamar de:
- $ A(1, 4) $
- $ B(-2, 6) $
- $ C(0, 8) $
Queremos encontrar o ponto $ D(x, y) $, que é o quarto vértice.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que em um paralelogramo, as diagonais se cortam no ponto médio. Isso significa que o ponto médio da diagonal $ AC $ é o mesmo que o ponto médio da diagonal $ BD $.
Passo 4
Vamos calcular o ponto médio da diagonal $ AC $. A fórmula do ponto médio entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Aplicando isso para $ A(1, 4) $ e $ C(0, 8) $:
Passo 5
Agora, sabemos que o ponto médio da diagonal $ BD $ também é $ \left( \frac{1}{2}, 6 \right) $. Vamos usar essa informação para encontrar $ D(x, y) $. Sabemos que $ B(-2, 6) $ está na diagonal $ BD $, então:
Isso nos dá duas equações:
Passo 6
Vamos resolver a primeira equação para $ x $:
Agora, a segunda equação para $ y $:
Resposta
Portanto, as coordenadas do quarto vértice $ D $ são $ (3, 6) $.