Uma parede composta possui três materiais, dois dos quais com condutividade térmica kA= 20 W /(m cdot K) e kC=50 W /(m cdot K) e espessura LA=0,3 m e LC=0,15 m. O terceiro material, B , que se encontra entre os materiais A e C , possui espessura LB=0,15 m. Mas sua condutividade térmica kB é desconhecida. Medidas revelam que a temperatura externa da parede é Te=35^circ C e a interna é Ti=650^circ C. A temperatura do ar no interior do forno é T infty=780^circ C. O coeficiente convectivo da parte interna do forno é conhecido e possui valor h=22,5 W /(m 2 cdot K). Represente graficamente o circuito térmico referente a esta configuração. Determine o valor de kB.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma parede composta por três materiais diferentes e pede para representarmos isso em um circuito térmico e calcularmos a condutividade térmica do material B. Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção, além de entender como montar um circuito térmico para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os materiais que compõem a parede:
  • Material A: e
  • Material B: desconhecido e
  • Material C: e
Além disso, temos uma transferência de calor por convecção no interior do forno com coeficiente .

Passo 3

Vamos representar graficamente o circuito térmico. Imagine que a transferência de calor acontece em série através dos diferentes materiais e pela convecção. O circuito térmico ficará assim:
  1. Fonte de temperatura: (temperatura do ar no forno)
  2. Resistência de convecção interna:
  3. Resistência térmica do Material A:
  4. Resistência térmica do Material B:
  5. Resistência térmica do Material C:
  6. Fonte de temperatura externa:

Passo 4

Vamos lembrar que, em um circuito térmico em série, a soma das resistências é igual à resistência total:
Rtotal = Rconv + RA + RB + RC
A transferência de calor ( ) é a mesma em todo o circuito, então podemos relacionar as diferenças de temperatura com as resistências.

Passo 5

A diferença de temperatura total é Rtotal = 745Q .
Usando a fórmula da resistência térmica total:
Rtotal = 1h + LAkA + LBkB + LCkC
E também:
745Q = 122,5 + 0,320 + 0,15kB + 0,1550
Igualando as duas expressões:

Passo 6

Vamos calcular cada resistência conhecida primeiro:
1h = 122,5 approx 0,0444 , K/W
LAkA = 0,320 = 0,015 , K/W
LCkC = 0,1550 = 0,003 , K/W
Substituindo esses valores na equação:
745Q = 0,0444 + 0,015 + 0,15kB + 0,003
745Q = 0,0624 + 0,15kB

Passo 7

Agora, reorganizamos a equação para isolar 0,15kB = 745Q - 0,0624 :
Q = 745Rtotal = 7450,0624 + 0,15kB
Para continuar, precisamos expressar em termos das temperaturas. Sabemos que:
No entanto, isso resulta em uma equação que envolve em ambos os lados. Para simplificar, podemos assumir que a área da parede é constante e se cancela nas equações, permitindo resolver diretamente para .

Passo 8

Vamos reorganizar a equação para resolver 0,15kB = 745Q - 0,0624 :
Q = 7450,0624 + 0,15kB
Mas precisamos de uma relação que elimine Q cdot (0,0624 + 0,15kB) = 745 . Sabemos que a transferência de calor pelas resistências é igual, então podemos expressar 0,0624 Q + 0,15 QkB = 745 em termos de cada resistência:
0,15 QkB = 745 - 0,0624 Q
Para resolver isso, vamos multiplicar ambos os lados pela resistência total:
kB = 0,15 Q745 - 0,0624 Q
Agora, rearranjamos para isolar :
Ainda assim, precisamos de uma forma de eliminar . Outra abordagem é reconhecer que o fluxo de calor através de cada material é o mesmo, e podemos igualar as expressões.

Passo 9

Como o calor Q = Tinfty - TeRtotal é o mesmo em todo o sistema, podemos escrever para cada segmento:
Rtotal = 1h + LAkA + LBkB + LCkC
Sabemos que:
Rtotal = 0,0444 + 0,015 + 0,15kB + 0,003 = 0,0624 + 0,15kB
Substituindo os valores:
Q = 7450,0624 + 0,15kB
Então,

Passo 10

Vamos lidar com a equação para resolver Q cdot (0,0624 + 0,15kB) = 745 . Multiplicamos ambos os lados por 0,0624 Q + 0,15 QkB = 745 :
0,15 QkB = 745 - 0,0624 Q
Expandindo:
kB = 0,15 Q745 - 0,0624 Q
Isolando :
Finalmente, isolamos :

Passo 11

Para resolver essa equação, precisamos de uma relação entre kB = 0,15 Q745 - 0,0624 Q e kB approx 0,15 Q745 . No entanto, sem informações adicionais sobre ou a área, podemos considerar que a área é 1 m² para simplificar.
Assumindo , a equação se torna:
Para seguir, podemos considerar que é pequeno em comparação com 745, portanto:
Mas isso ainda não resolve a equação, indicando que precisamos de outra abordagem ou informação para determinar .

Passo 12

Uma alternativa é relacionar as resistências diretamente. Sabemos que:
Rtotal = 745Q = 0,0624 + 0,15kB
Rearranjando para 0,15kB = 745Q - 0,0624 :
Sem o valor de , ficamos presos. Portanto, precisamos de uma abordagem diferente, reconhecendo que a transferência de calor por condução e convecção está equilibrada.

Passo 13

Vamos considerar que a transferência de calor Rtotal = 0,0444 + 0,015 + 0,15kB + 0,003 = 0,0624 + 0,15kB é determinada pela diferença de temperatura e pelas resistências. Usando as resistências já calculadas:
Q = 7450,0624 + 0,15kB
Sabemos que:
Para encontrar , precisamos de mais informações ou assumir que pode ser cancelado ou isolado.

Passo 14

Reorganizando a equação:
745 = Q cdot (0,0624 + 0,15kB)
Dividindo ambos os lados por 745Q = 0,0624 + 0,15kB :
0,15kB = 745Q - 0,0624
Agora, isolamos 0,15 = ( 745Q - 0,0624 ) kB :
kB = 0,15745Q - 0,0624
Multiplicando ambos os lados por :
Finalmente, resolvemos para :
Sem o valor de , não conseguimos prosseguir diretamente. Portanto, precisamos de uma relação adicional ou considerar que possa ser expressado em termos das temperaturas e das resistências.

Passo 15

Dado o impasse, revisamos a abordagem:
A transferência de calor Q = h A (Tinfty - Ti) = Ti - TeRtotal através da convecção e das conduções é a mesma. Portanto:
Q = 22,5 times (780 - 650) = 22,5 times 130 = 2925 , W
Assumindo , temos:

Passo 16

Agora que temos kB = 0,15 times 2925745 - 0,0624 times 2925 , podemos substituir na equação para 745 - 0,0624 times 2925 = 745 - 182,28 = 562,72 :
kB = 0,15 times 2925562,72 = 438,75562,72 approx 0,78 , W/(m cdot K)
Calculando o denominador:
Então:

Resposta

A condutividade térmica do material B é aproximadamente .

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