Uma parede composta possui três materiais, dois dos quais com condutividade térmica
e
e espessura
e
. O terceiro material, B , que se encontra entre os materiais A e C , possui espessura
. Mas sua condutividade térmica kB é desconhecida. Medidas revelam que a temperatura externa da parede é
e a interna é
. A temperatura do ar no interior do forno é
. O coeficiente convectivo da parte interna do forno é conhecido e possui valor
. Represente graficamente o circuito térmico referente a esta configuração. Determine o valor de kB.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma parede composta por três materiais diferentes e pede para representarmos isso em um circuito térmico e calcularmos a condutividade térmica do material B. Vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção, além de entender como montar um circuito térmico para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os materiais que compõem a parede:
- Material A:
e - Material B:
desconhecido e - Material C:
e
Além disso, temos uma transferência de calor por convecção no interior do forno com coeficiente
.
Passo 3
Vamos representar graficamente o circuito térmico. Imagine que a transferência de calor acontece em série através dos diferentes materiais e pela convecção. O circuito térmico ficará assim:
- Fonte de temperatura:
(temperatura do ar no forno) - Resistência de convecção interna:
- Resistência térmica do Material A:
- Resistência térmica do Material B:
- Resistência térmica do Material C:
- Fonte de temperatura externa:
Passo 4
Vamos lembrar que, em um circuito térmico em série, a soma das resistências é igual à resistência total:
A transferência de calor (
) é a mesma em todo o circuito, então podemos relacionar as diferenças de temperatura com as resistências.
Passo 5
A diferença de temperatura total é
.
Usando a fórmula da resistência térmica total:
E também:
Igualando as duas expressões:
Passo 6
Vamos calcular cada resistência conhecida primeiro:
Substituindo esses valores na equação:
Passo 7
Agora, reorganizamos a equação para isolar
:
Para continuar, precisamos expressar
em termos das temperaturas. Sabemos que:
No entanto, isso resulta em uma equação que envolve
em ambos os lados. Para simplificar, podemos assumir que a área
da parede é constante e se cancela nas equações, permitindo resolver diretamente para
.
Passo 8
Vamos reorganizar a equação para resolver
:
Mas precisamos de uma relação que elimine
. Sabemos que a transferência de calor pelas resistências é igual, então podemos expressar
em termos de cada resistência:
Para resolver isso, vamos multiplicar ambos os lados pela resistência total:
Agora, rearranjamos para isolar
:
Ainda assim, precisamos de uma forma de eliminar
. Outra abordagem é reconhecer que o fluxo de calor através de cada material é o mesmo, e podemos igualar as expressões.
Passo 9
Como o calor
é o mesmo em todo o sistema, podemos escrever para cada segmento:
Sabemos que:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 10
Vamos lidar com a equação para resolver
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Expandindo:
Isolando
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 11
Para resolver essa equação, precisamos de uma relação entre
e
. No entanto, sem informações adicionais sobre
ou a área, podemos considerar que a área é 1 m² para simplificar.
Assumindo
, a equação se torna:
Para seguir, podemos considerar que
é pequeno em comparação com 745, portanto:
Mas isso ainda não resolve a equação, indicando que precisamos de outra abordagem ou informação para determinar
.
Passo 12
Uma alternativa é relacionar as resistências diretamente. Sabemos que:
Rearranjando para
:
Sem o valor de
, ficamos presos. Portanto, precisamos de uma abordagem diferente, reconhecendo que a transferência de calor por condução e convecção está equilibrada.
Passo 13
Vamos considerar que a transferência de calor
é determinada pela diferença de temperatura e pelas resistências. Usando as resistências já calculadas:
Sabemos que:
Para encontrar
, precisamos de mais informações ou assumir que
pode ser cancelado ou isolado.
Passo 14
Reorganizando a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente, resolvemos para
:
Sem o valor de
, não conseguimos prosseguir diretamente. Portanto, precisamos de uma relação adicional ou considerar que
possa ser expressado em termos das temperaturas e das resistências.
Passo 15
Dado o impasse, revisamos a abordagem:
A transferência de calor
através da convecção e das conduções é a mesma. Portanto:
Assumindo
, temos:
Passo 16
Agora que temos
, podemos substituir na equação para
:
Calculando o denominador:
Então:
Resposta
A condutividade térmica do material B é aproximadamente
.