Uma parede plana com espessura de 0,2 m e condutividade térmica de 30 W / m^circ C apresenta uma taxa volumétrica de geração de energia térmica uniforme e constante de 0,4 MW/m ^3 e suas duas superfícies estão expostas a um fluido com temperatura Tinfty desconhecida. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a parede e o fluido é de 400 W / m^2 K e é dito que a temperatura das superfícies Ts é de 92 ^circ C. Considerando estado estacionário, usando condições de contorno de temperatura especificada na superfície e de simetria térmica no plano central, encontre a expressão para a distribuição de T(x).
Resp: T(x)=dotqG L^22 k(1-x^2L^2)+TS

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de transferência de calor através de uma parede plana. A parede tem uma espessura de 0,2 metros e conduz calor com uma certa eficiência (30 W/m°C). Além disso, há geração de calor dentro da própria parede a uma taxa constante de 0,4 MW/m³. As superfícies da parede estão em contato com um fluido cuja temperatura ainda não sabemos, e sabemos que a temperatura na superfície da parede é de 92°C. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia dentro da parede, ou seja, a distribuição de temperatura T(x).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com condução de calor com geração interna, em condição de estado estacionário. Isso significa que a distribuição de temperatura não muda com o tempo. A equação básica que descreve isso é:
d^2 Tdx^2 + dotqGk = 0
Aqui, é a taxa volumétrica de geração de calor e é a condutividade térmica.

Passo 3

Vamos integrar essa equação uma vez em relação a x:
dTdx = -dotqGk x + C1
Onde é uma constante de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Integrando novamente para encontrar T(x):
T(x) = -dotqG2k x^2 + C1 x + C2
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições de contorno. Sabemos que na superfície (x = ±L, onde L = 0,1 m, já que a espessura total é 0,2 m), a temperatura é dTdx |x=0 = 0 = -dotqGk cdot 0 + C1 Rightarrow C1 = 0 . Além disso, pelo plano central (x = 0), temos simetria térmica, o que significa que a derivada da temperatura em relação a x é zero (não há fluxo de calor atravessando o centro).
Primeira condição de simetria em x = 0:

Passo 6

Substituindo T(x) = -dotqG2k x^2 + C2 na expressão de T(x):
T(L) = -dotqG2k L^2 + C2 = TS
Agora, aplicamos a condição de contorno na superfície x = L:
C2 = dotqG2k L^2 + TS
Resolvendo para :

Passo 7

Substituindo T(x) = -dotqG2k x^2 + dotqG2k L^2 + TS = dotqG2k (L^2 - x^2) + TS de volta na expressão de T(x):
T(x) = dotqG L^22k (1 - x^2L^2) + TS
Podemos reescrever isso de forma mais elegante:

Resposta

A distribuição de temperatura dentro da parede é dada por:
T(x) = dotqG L^22 k(1-x^2L^2)+TS

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