Uma parede plana com espessura de e condutividade térmica de apresenta uma taxa volumétrica de geração de energia térmica uniforme e constante de 0,4 MW/m e suas duas superfícies estão expostas a um fluido com temperatura desconhecida. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a parede e o fluido é de e é dito que a temperatura das superfícies é de . Considerando estado estacionário, usando condições de contorno de temperatura especificada na superfície e de simetria térmica no plano central, encontre a expressão para a distribuição de T(x).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de transferência de calor através de uma parede plana. A parede tem uma espessura de 0,2 metros e conduz calor com uma certa eficiência (30 W/m°C). Além disso, há geração de calor dentro da própria parede a uma taxa constante de 0,4 MW/m³. As superfícies da parede estão em contato com um fluido cuja temperatura ainda não sabemos, e sabemos que a temperatura na superfície da parede é de 92°C. Nosso objetivo é encontrar como a temperatura varia dentro da parede, ou seja, a distribuição de temperatura T(x).
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com condução de calor com geração interna, em condição de estado estacionário. Isso significa que a distribuição de temperatura não muda com o tempo. A equação básica que descreve isso é:
Aqui, é a taxa volumétrica de geração de calor e é a condutividade térmica.
Passo 3
Vamos integrar essa equação uma vez em relação a x:
Onde é uma constante de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Integrando novamente para encontrar T(x):
Aqui, é outra constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições de contorno. Sabemos que na superfície (x = ±L, onde L = 0,1 m, já que a espessura total é 0,2 m), a temperatura é . Além disso, pelo plano central (x = 0), temos simetria térmica, o que significa que a derivada da temperatura em relação a x é zero (não há fluxo de calor atravessando o centro).
Primeira condição de simetria em x = 0:
Passo 6
Substituindo na expressão de T(x):
Agora, aplicamos a condição de contorno na superfície x = L:
Resolvendo para :
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de T(x):
Podemos reescrever isso de forma mais elegante:
Resposta
A distribuição de temperatura dentro da parede é dada por: