A parede de um recipiente esférico de de diâmetro contém um líquido a , sendo a temperatura do ambiente . Qual a espessura de espuma de uretano necessária para reduzir a temperatura externa para , considerando o coeficiente de convecção 20 ? Usar a condutividade térmica do uretano igual a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma parede esférica de um recipiente que tem 0,5 metros de diâmetro e está contendo um líquido a 200°C. A temperatura ambiente é de 25°C, e queremos descobrir qual a espessura necessária de uma espuma de uretano para que a temperatura externa do recipiente fique em 40°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transfêrência de calor, especificamente condução e convecção. Precisaremos usar a fórmula da resistência térmica e algumas propriedades do material, como a condutividade térmica e o coeficiente de convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as temperaturas envolvidas:
  • Temperatura interna ( ): 200°C
  • Temperatura externa desejada ( ): 40°C
  • Temperatura ambiente ( ): 25°C
A diferença de temperatura que precisamos gerenciar é a do interior para o exterior do recipiente.

Passo 3

Como estamos lidando com calor passando pela espuma e depois sendo transferido para o ambiente, temos dois processos principais:
  1. Condução através da espuma de uretano
  2. Convecção do calor para o ambiente
Vamos calcular a resistência térmica de cada um desses processos.

Passo 4

A resistência térmica por condução ( ) é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a espessura da espuma que queremos encontrar
  • é a condutividade térmica do uretano (0,026 W/(m·K))
  • é a área pela qual o calor está passando

Passo 5

A resistência térmica por convecção ( ) é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente de convecção (20 W/(m²·K))
  • é a mesma área usada na condução

Passo 6

As resistências térmicas em série somam-se. Então, a resistência total ( ) é:

Passo 7

A taxa de transferência de calor ( ) pode ser expressa pela diferença de temperatura dividida pela resistência total:
Mas precisamos relacionar isso com a temperatura externa desejada de 40°C, então ajustamos a diferença de temperatura.

Passo 8

Vamos calcular a área da superfície esférica do recipiente, já que é por essa área que o calor está sendo transferido:
Onde o raio ( ) é metade do diâmetro: 0,25 m.

Passo 9

Agora, rearranjamos a fórmula para encontrar a espessura :
Como queremos que a temperatura externa seja 40°C, a diferença de temperatura através da espuma será .
Assumindo que o calor que sai pela condução é igual ao que sai por convecção:
Como não há necessidade de calcular , podemos igualar as resistências para encontrar .

Passo 10

Igualando as resistências e resolvendo para :
Para simplificar, considerando as resistências em série:
Isolando :
Simplificando com os valores numéricos, encontramos o valor de .

Resposta

Após os cálculos, a espessura necessária da espuma de uretano para reduzir a temperatura externa para 40°C é aproximadamente 0,05 metros.

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