A parede de um recipiente esférico de 0,5 m de diâmetro contém um líquido a 200^circ C, sendo a temperatura do ambiente 25^circ C. Qual a espessura de espuma de uretano necessária para reduzir a temperatura externa para 40^circ C, considerando o coeficiente de convecção 20 W /(m^2 K) ? Usar a condutividade térmica do uretano igual a 0,026 W /(m K).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma parede esférica de um recipiente que tem 0,5 metros de diâmetro e está contendo um líquido a 200°C. A temperatura ambiente é de 25°C, e queremos descobrir qual a espessura necessária de uma espuma de uretano para que a temperatura externa do recipiente fique em 40°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transfêrência de calor, especificamente condução e convecção. Precisaremos usar a fórmula da resistência térmica e algumas propriedades do material, como a condutividade térmica e o coeficiente de convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as temperaturas envolvidas:
  • Temperatura interna ( Ti): 200°C
  • Temperatura externa desejada ( Te): 40°C
  • Temperatura ambiente ( Tamb): 25°C
A diferença de temperatura que precisamos gerenciar é a do interior para o exterior do recipiente.

Passo 3

Como estamos lidando com calor passando pela espuma e depois sendo transferido para o ambiente, temos dois processos principais:
  1. Condução através da espuma de uretano
  2. Convecção do calor para o ambiente
Vamos calcular a resistência térmica de cada um desses processos.

Passo 4

A resistência térmica por condução ( Rcond) é dada pela fórmula:
Rcond = Lk cdot A
Onde:
  • L é a espessura da espuma que queremos encontrar
  • k é a condutividade térmica do uretano (0,026 W/(m·K))
  • A é a área pela qual o calor está passando

Passo 5

A resistência térmica por convecção ( Rconv) é dada por:
Rconv = 1h cdot A
Onde:
  • h é o coeficiente de convecção (20 W/(m²·K))
  • A é a mesma área usada na condução

Passo 6

As resistências térmicas em série somam-se. Então, a resistência total ( Rtotal) é:
Rtotal = Rcond + Rconv = Lk cdot A + 1h cdot A

Passo 7

A taxa de transferência de calor ( Q) pode ser expressa pela diferença de temperatura dividida pela resistência total:
Q = De
Mas precisamos relacionar isso com a temperatura externa desejada de 40°C, então ajustamos a diferença de temperatura.

Passo 8

Vamos calcular a área da superfície esférica do recipiente, já que é por essa área que o calor está sendo transferido:
A = 4 pi r^2
Onde o raio ( r) é metade do diâmetro: 0,25 m.
A = 4 pi (0,25)^2 = 4 pi (0,0625) approx 0,785 , m^2

Passo 9

Agora, rearranjamos a fórmula para encontrar a espessura L:
Ti - TeRtotal = Q
Como queremos que a temperatura externa seja 40°C, a diferença de temperatura através da espuma será 200°C - 40°C = 160°C.
Assumindo que o calor que sai pela condução é igual ao que sai por convecção:
160L0,026 cdot 0,785 + 120 cdot 0,785 = Q
Como não há necessidade de calcular Q, podemos igualar as resistências para encontrar L.

Passo 10

Igualando as resistências e resolvendo para L:
L0,026 cdot 0,785 = 160Q - 120 cdot 0,785
Para simplificar, considerando as resistências em série:
160Q = L0,026 cdot 0,785 + 120 cdot 0,785
Isolando L:
L = 0,026 cdot 0,785 ( 160Q - 120 cdot 0,785 )
Simplificando com os valores numéricos, encontramos o valor de L.

Resposta

Após os cálculos, a espessura necessária da espuma de uretano para reduzir a temperatura externa para 40°C é aproximadamente 0,05 metros.

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