Um parque aquático, no período de outono-inverno, oferece aulas de hidroginástica em piscinas aquecidas. Para melhorar o rendimento dos alunos, as piscinas são mantidas, no período das aulas, à temperatura de 30 °C. Numa madrugada de frio mais intenso, a temperatura da água das piscinas registrou 18 °C. O aquecedor foi acionado, permanecendo ligado t horas antes do começo das aulas. Segundo o manual do aquecedor, para o volume de água das piscinas, o aquecimento se dará conforme a equação: T(t) = t² + t + T₀, onde T(t) é a temperatura das piscinas em função de t, tempo em que o aquecedor permaneceu ligado até atingir 30 °C e a temperatura se manter estável, e T₀ é a temperatura da água no momento em que o aquecedor ligou. Quantas horas, nesse dia, a água das piscinas levou para chegar a 30 °C?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre como a temperatura da água de uma piscina aumenta quando o aquecedor está ligado. Usaremos a equação dada: $ T(t) = t^2 + t + T_0
t $) o aquecedor precisa ficar ligado para que a temperatura da água passe de 18 °C para 30 °C. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que cada termo na equação representa:
- $ T(t) $ é a temperatura da água após $ t $ horas.
- $ t $ é o tempo que o aquecedor está ligado.
- $ T_0 $ é a temperatura inicial da água, que é 18 °C.
Queremos que $ T(t) $ seja 30 °C. Então, vamos substituir esses valores na equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ t $. Primeiro, subtraímos 30 de ambos os lados para deixá-la igual a zero:
Essa é uma equação quadrática da forma $ at^2 + bt + c = 0 $. Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -12 $.
Passo 4
Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $) primeiro:
Agora, aplicamos na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
Como tempo não pode ser negativo, descartamos $ t = -4 $.
Resposta
O aquecedor precisou ficar ligado por 3 horas para a água das piscinas chegar a 30 °C.