Uma partícula de massa está sobre um plano horizontal sem atrito e sujeita uma única força proporcional a sua posição e restauradora. (a) Estabeleça uma direção e uma origem e com ela desenhe esquematicamente o sistema e força que atua sobre partícula (b) Escreva a equação de movimento © A partir da equação obtida no item anterior e considerando como condições iniciais e , obtenha . © Calcule a energia total do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo e entender qual matéria estamos trabalhando aqui. A gente tem uma partícula com massa que está sobre um plano horizontal sem atrito. Ela está sendo puxada por uma força que é proporcional à sua posição e que age de forma restauradora (ou seja, tenta trazer a partícula de volta para a posição de equilíbrio). Isso está dentro do conceito de Movimento Harmônico Simples dentro da Dinâmica.
Pra resolver essa parada, vamos precisar:
  1. Estabelecer um sistema de coordenadas.
  2. Desenhar o esquema das forças.
  3. Aplicar a segunda lei de Newton para formular a equação de movimento.
  4. Resolver essa equação com as condições iniciais dadas.
  5. Calcular a energia total do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer uma direção e uma origem para facilitar nossos cálculos. Vamos escolher o eixo como a direção horizontal e definir a origem ( ) na posição de equilíbrio da partícula. Isso significa que qualquer deslocamento para a direita será positivo e para a esquerda será negativo.
Agora, vamos desenhar esquematicamente o sistema e a força que atua sobre a partícula:
  • Imagine uma linha horizontal representando o eixo .
  • A partícula está em algum ponto nessa linha.
  • A força restauradora atua na direção oposta ao deslocamento, tentando levar a partícula de volta para a origem.
Então, temos:
  • Sistema de Coordenadas: Eixo horizontal com origem em .
  • Força Restauradora: , onde é a constante de proporcionalidade e é a posição da partícula.

Passo 3

Agora vamos escrever a equação de movimento usando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual ao produto da massa pela aceleração :
Substituindo a força restauradora na equação:
Onde é a aceleração da partícula. Podemos rearranjar isso para obter a equação diferencial do movimento:
Essa é a equação diferencial do Movimento Harmônico Simples.

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial que obtivemos:
Onde é a frequência angular do sistema.
A solução geral dessa equação é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas: e , onde é a velocidade.
Aplicando as condições iniciais:
  1. Para :
  2. Derivando para encontrar :
    Aplicando :
    Portanto:
Substituindo e na solução geral:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a energia total do sistema. Em um sistema sem atrito, a energia total é a soma da energia cinética e da energia potencial :
Energia Cinética:
Energia Potencial:
Como no Movimento Harmônico Simples a energia total permanece constante, podemos calcular usando as condições iniciais:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:
E a energia total do sistema é:

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