Joāo e Pedro sāo irmāos gêmeos e estāo brincando num carrossel. O carrossel é um disco homogêneo de raio e massa . Cada criança tem massa e momento de inércia em relaçāo ao eixo vertical que passa por seu centro de massa. Joāo e Pedro estāo em pé sobre o carrossel e suas distâncias ao eixo de giro sāo e respectivamente. O sistema gira com velocidade angular quando Pedro pula fora do carrossel que dobra sua velocidade angular. Quanto vale a massa do carrossel?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos João e Pedro, que são irmãos gêmeos brincando num carrossel. O carrossel é representado como um disco homogêneo com raio e massa . Cada criança tem uma massa e um momento de inércia em relação ao eixo vertical que passa pelo centro de massa delas. João está a 20 cm do eixo de giro e Pedro a 80 cm. Quando Pedro pula fora, a velocidade angular do sistema dobra. Queremos descobrir qual é a massa do carrossel.
Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. O momento de inércia ( ) é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais longe a massa, maior o momento de inércia.
Para objetos compostos, o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia de cada parte.

Passo 3

Antes de Pedro pular, o momento de inércia total ( ) do sistema é a soma do momento de inércia do carrossel ( ), de João ( ã) e de Pedro ( ):
ã
Sabemos que:
E os momentos de inércia de João e Pedro são dados na questão:
ã

Passo 4

Depois que Pedro pula, o momento de inércia final ( ) é:
ã
A velocidade angular depois que Pedro pula ( ) é o dobro da inicial ( ):

Passo 5

Como não há torque externo agindo sobre o sistema, o momento angular é conservado. Portanto:
Substituindo por :
Podemos cancelar dos dois lados:

Passo 6

Substituindo os valores de e :
ãã
Agora, substituímos :
ãã

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
ãã
Subtraindo ã de ambos os lados:
ã

Passo 8

Queremos encontrar :
ã
Multiplicando ambos os lados por 2:
ã
E isolando :
ã

Passo 9

Agora, substituímos os valores numéricos:
Mas percebemos que ã, o que resultaria em:
Isso não faz sentido físico, então precisamos revisar nossas suposições.

Passo 10

Na verdade, quando consideramos o momento de inércia das crianças, devemos levar em conta a distância delas ao eixo de rotação. O momento de inércia de cada criança é dado por:
ç
Onde é a distância ao eixo.
Para João ( ):
ã
Para Pedro ( ):

Passo 11

Agora, refazendo a equação no Passo 7 com os valores corretos:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo 3,2 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Resposta

A massa do carrossel é de 48,0 kg.

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