Joāo e Pedro sāo irmāos gêmeos e estāo brincando num carrossel. O carrossel é um disco homogêneo de raio
e massa
. Cada criança tem massa
e momento de inércia
em relaçāo ao eixo vertical que passa por seu centro de massa. Joāo e Pedro estāo em pé sobre o carrossel e suas distâncias ao eixo de giro sāo
e
respectivamente. O sistema gira com velocidade angular
quando Pedro pula fora do carrossel que dobra sua velocidade angular. Quanto vale a massa
do carrossel?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos João e Pedro, que são irmãos gêmeos brincando num carrossel. O carrossel é representado como um disco homogêneo com raio
e massa
. Cada criança tem uma massa
e um momento de inércia
em relação ao eixo vertical que passa pelo centro de massa delas. João está a 20 cm do eixo de giro e Pedro a 80 cm. Quando Pedro pula fora, a velocidade angular do sistema dobra. Queremos descobrir qual é a massa
do carrossel.
Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. O momento de inércia (
) é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais longe a massa, maior o momento de inércia.
Para objetos compostos, o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia de cada parte.
Passo 3
Antes de Pedro pular, o momento de inércia total (
) do sistema é a soma do momento de inércia do carrossel (
), de João (
) e de Pedro (
):
Sabemos que:
E os momentos de inércia de João e Pedro são dados na questão:
Passo 4
Depois que Pedro pula, o momento de inércia final (
) é:
A velocidade angular depois que Pedro pula (
) é o dobro da inicial (
):
Passo 5
Como não há torque externo agindo sobre o sistema, o momento angular é conservado. Portanto:
Substituindo
por
:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Passo 6
Substituindo os valores de
e
:
Agora, substituímos
:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 8
Queremos encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
E isolando
:
Passo 9
Agora, substituímos os valores numéricos:
Mas percebemos que
, o que resultaria em:
Isso não faz sentido físico, então precisamos revisar nossas suposições.
Passo 10
Na verdade, quando consideramos o momento de inércia das crianças, devemos levar em conta a distância delas ao eixo de rotação. O momento de inércia de cada criança é dado por:
Onde
é a distância ao eixo.
Para João (
):
Para Pedro (
):
Passo 11
Agora, refazendo a equação no Passo 7 com os valores corretos:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Subtraindo 3,2 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Resposta
A massa do carrossel
é de 48,0 kg.
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e
, obtenha
. © Calcule a energia total do sistema.
Uma partícula de massa
é lançada verticalmente para cima a partir da posição
e com velocidade inicial
e está sujeita à uma força de retardo proporcional à velocidade e a gravidade. Com isso (a) Estabeleça uma direção e uma origem e com ela desenhe esquematicamente as forças que atuam na partícula (b) Escreva a equação de movimento © A partir da equação obtida no item anterior, obtenha
. (d) A partir da equação obtida em (b) obtenha
. (d) A partir da equação em (b) obtenha
. (e) Calcule a altura máxima em. termos das condições iniciais.
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e
, com
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