Uma partícula de massa unitária move-se no potencial do oscilador harmônico não isotrópico tri-dimensional
Se a partícula passa pela origem com velocidade unitária na direção
no instante
, determine
e
como funções do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa 1 que está se movendo em um potencial chamado de oscilador harmônico não isotrópico em três dimensões. O potencial é dado por:
Além disso, sabemos que no instante $ t = 0 $, a partícula está na origem
e tem uma velocidade unitária na direção
. Nosso objetivo é descobrir como as posições $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $ mudam com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa esse potencial. O oscilador harmônico não isotrópico significa que a força restauradora não é a mesma em todas as direções. Cada coordenada $ x $, $ y $ e $ z $ tem sua própria constante de força.
A força em cada direção é dada pela derivada negativa do potencial em relação àquela coordenada:
Passo 3
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton, que relaciona força e aceleração:
Como a massa $ m = 1 $, simplificamos para:
Essas são equações diferenciais de osciladores harmônicos simples, onde cada coordenada oscila com uma frequência própria.
Passo 4
A solução geral de uma equação diferencial do tipo
é:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que determinamos com as condições iniciais, e $ \omega $ é a frequência angular.
Aplicando isso para cada coordenada:
Para $ x(t) $:
Para $ y(t) $:
Para $ z(t) $:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes $ A $ e $ B $.
No instante $ t = 0 $:
E as velocidades iniciais são:
(Obtido dividindo a velocidade unitária pela raiz quadrada de 3, já que a direção é
)
Passo 6
Aplicando $ t = 0 $ nas equações de posição:
Então, as equações simplificam para:
Passo 7
Agora, derivamos as equações para encontrar as velocidades e aplicamos as condições iniciais:
Para $ x(t) $:
Para $ y(t) $:
Para $ z(t) $:
Resposta
As funções de posição em cada direção são: