Uma partícula de massa unitária move-se no potencial do oscilador harmônico não isotrópico tri-dimensional
V=x^2+4 y^2+9 z^2
Se a partícula passa pela origem com velocidade unitária na direção (1,1,1) no instante t=0, determine x, y e z como funções do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa 1 que está se movendo em um potencial chamado de oscilador harmônico não isotrópico em três dimensões. O potencial é dado por:
V = x^2 + 4 y^2 + 9 z^2
Além disso, sabemos que no instante $ t = 0 $, a partícula está na origem t = 0 e tem uma velocidade unitária na direção (0, 0, 0). Nosso objetivo é descobrir como as posições $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $ mudam com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa esse potencial. O oscilador harmônico não isotrópico significa que a força restauradora não é a mesma em todas as direções. Cada coordenada $ x $, $ y $ e $ z $ tem sua própria constante de força.
A força em cada direção é dada pela derivada negativa do potencial em relação àquela coordenada:
x

Passo 3

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton, que relaciona força e aceleração:
m d^2xdt^2 = Fx m d^2ydt^2 = Fy m d^2zdt^2 = Fz
Como a massa $ m = 1 $, simplificamos para:
m = 1
Essas são equações diferenciais de osciladores harmônicos simples, onde cada coordenada oscila com uma frequência própria.

Passo 4

A solução geral de uma equação diferencial do tipo d^2udt^2 = -omega^2 u é:
u(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que determinamos com as condições iniciais, e $ \omega $ é a frequência angular.
Aplicando isso para cada coordenada:
Para $ x(t) $:
A
Para $ y(t) $:
B
Para $ z(t) $:
omega

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes $ A $ e $ B $.
No instante $ t = 0 $:
A
E as velocidades iniciais são:
B
(Obtido dividindo a velocidade unitária pela raiz quadrada de 3, já que a direção é t = 0 )

Passo 6

Aplicando $ t = 0 $ nas equações de posição:
t = 0
Então, as equações simplificam para:
x(0) = Ax = 0 y(0) = Ay = 0 z(0) = Az = 0

Passo 7

Agora, derivamos as equações para encontrar as velocidades e aplicamos as condições iniciais:
Para $ x(t) $:
x(t)
Para $ y(t) $:
dxdt = Bx raiz2 cos(raiz2, t) ( dxdt )t=0 = Bx raiz2 = 1raiz3 Bx = 1raiz3 cdot raiz2 = 1raiz6
Para $ z(t) $:
y(t)

Resposta

As funções de posição em cada direção são:
x(t) = 1raiz6 sin( raiz2, t )
y(t) = 12raiz6 sin( 2raiz2, t )
z(t) = 13raiz6 sin( 3raiz2, t )

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