Em uma partida de boliche, um jogador novato lança uma bola (B) de 4 kg com uma força de baixa intensidade, e a bola para na pista. Para movê-la, um jogador mais experiente arremessa uma bola (A) de 7 kg, com velocidade vo= 3 m/s, para se chocar fortemente com a primeira. Calcule a velocidade das bolas após a colisão, sabendo que o coeficiente de restituição e nessa situação é 0,5.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo nesse exercício. Temos duas bolas de boliche: a bola B, que pesa 4 kg e está parada na pista, e a bola A, que pesa 7 kg e é lançada com uma velocidade inicial de 3 m/s para colidir com a bola B. Queremos descobrir as velocidades das duas bolas após a colisão, sabendo que o coeficiente de restituição dessa colisão é 0,5.
Para resolver isso, vamos precisar usar dois conceitos da física:
  1. Conservação da quantidade de movimento (ou momento linear): Em colisões, a quantidade total de movimento antes da colisão é igual à quantidade total de movimento depois dela.
  2. Coeficiente de restituição: Esse coeficiente relaciona as velocidades das colisões antes e depois do impacto, nos dá ideia de quão “elástica” ou “inelástica” é a colisão.

Passo 2

Vamos começar aplicando a conservação da quantidade de movimento. A quantidade de movimento § de um objeto é calculada pela fórmula:
p = m times v
Onde:
  • $ m $ é a massa do objeto
  • $ v $ é a velocidade do objeto
Antes da colisão:
  • A bola A está em movimento: $ p_{A0} = m_A \times v_{A0} $
  • A bola B está parada: $ p_{B0} = m_B \times v_{B0} = 4,kg \times 0,m/s = 0 $
Portanto, a quantidade total de movimento antes da colisão é:
m

Passo 3

Após a colisão, as bolas A e B terão novas velocidades, que vamos chamar de $ v_A $ e $ v_B $ respectivamente. Aplicando a conservação da quantidade de movimento:
vA
Substituindo os valores conhecidos:
vB
mA times vA0 + mB times vB0 = mA times vA + mB times vB
Essa é a primeira equação que vamos usar.

Passo 4

Agora, vamos usar o coeficiente de restituição (e), que é dado pela fórmula:
e = vB - vAvA0 - vB0
Onde:
  • $ e $ é o coeficiente de restituição (no caso, 0,5)
  • $ v_A0 $ e $ v_B0 $ são as velocidades iniciais das bolas A e B antes da colisão
  • $ v_A $ e $ v_B $ são as velocidades das bolas A e B após a colisão
Como a bola B estava parada antes da colisão ($ v_B0 = 0 $), a fórmula fica:
e
vA0
Multiplicando ambos os lados por 3:
vB0
Essa é a segunda equação que vamos usar.

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. $ 21 = 7v_A + 4v_B $
  2. $ 1,5 = v_B - v_A $
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar $ v_B $ em termos de $ v_A $:
21 = 7vA + 4vB
Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:
1,5 = vB - vA
Distribuindo o 4:
vB
Somando os termos com $ v_A $:
vA
Subtraindo 6 de ambos os lados:
vB = vA + 1,5
Dividindo ambos os lados por 11:
21 = 7vA + 4(vA + 1,5)
Agora, substituímos $ v_A $ na expressão de $ v_B $:
21 = 7vA + 4vA + 6

Resposta

Após a colisão, a velocidade da bola A é aproximadamente 1,36 m/s e a velocidade da bola B é aproximadamente 2,86 m/s.

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