A partir do balanço de energia do elemento de volume em forma de anel, derive a equação de condução de calor bidimensional permanente em coordenadas cilíndricas para
, com condutividade térmica constante e sem geração de calor.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a equação de condução de calor bidimensional permanente em coordenadas cilíndricas para a temperatura
. Isso está dentro da matéria de transferência de calor, especificamente usando o balanço de energia. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o balanço de energia a um elemento de volume em forma de anel e usar derivadas parciais em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o elemento de volume em forma de anel nas coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas
são úteis aqui porque a geometria do problema sugere simetria circular. Como estamos considerando um caso bidimensional permanente, vamos assumir que não há variação na direção
e que todas as propriedades são constantes no tempo.
Passo 3
O próximo passo é aplicar o balanço de energia ao elemento de volume. Em regime permanente, a taxa de calor que entra no elemento deve ser igual à taxa que sai. Isso significa que a divergência do fluxo de calor deve ser zero. Matemáticamente, isso é expresso pela equação de conservação de energia:
onde
é o vetor fluxo de calor.
Passo 4
Sabemos que, de acordo com a Lei de Fourier, o fluxo de calor
é proporcional ao gradiente de temperatura:
onde
é a condutividade térmica, que é constante conforme o enunciado.
Passo 5
Substituindo
na equação de conservação de energia, temos:
Como
é constante, podemos simplificar para:
Esta é a equação de Laplace para a temperatura
.
Passo 6
Agora, precisamos expressar o operador Laplaciano
em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, o Laplaciano de uma função
é dado por:
Passo 7
Como estamos considerando um problema bidimensional e permanente, não há variação na direção
. Portanto, a derivada em relação a
é zero:
Assim, o Laplaciano simplifica para:
Passo 8
Substituindo de volta na equação de Laplace, temos:
Resposta
A equação de condução de calor bidimensional permanente em coordenadas cilíndricas para
é: