A partir do balanço de energia do elemento de volume em forma de anel, derive a equação de condução de calor bidimensional permanente em coordenadas cilíndricas para T(r, z), com condutividade térmica constante e sem geração de calor.
1r partialpartial r(r partial Tpartial r)+partial^2 Tpartial z^2=0
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a equação de condução de calor bidimensional permanente em coordenadas cilíndricas para a temperatura . Isso está dentro da matéria de transferência de calor, especificamente usando o balanço de energia. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o balanço de energia a um elemento de volume em forma de anel e usar derivadas parciais em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o elemento de volume em forma de anel nas coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas são úteis aqui porque a geometria do problema sugere simetria circular. Como estamos considerando um caso bidimensional permanente, vamos assumir que não há variação na direção e que todas as propriedades são constantes no tempo.

Passo 3

O próximo passo é aplicar o balanço de energia ao elemento de volume. Em regime permanente, a taxa de calor que entra no elemento deve ser igual à taxa que sai. Isso significa que a divergência do fluxo de calor deve ser zero. Matemáticamente, isso é expresso pela equação de conservação de energia:
nabla cdot q = 0
onde é o vetor fluxo de calor.

Passo 4

Sabemos que, de acordo com a Lei de Fourier, o fluxo de calor q = -k nabla T é proporcional ao gradiente de temperatura:
onde é a condutividade térmica, que é constante conforme o enunciado.

Passo 5

Substituindo nabla cdot (-k nabla T) = 0 na equação de conservação de energia, temos:
-k nabla^2 T = 0 Rightarrow nabla^2 T = 0
Como é constante, podemos simplificar para:
Esta é a equação de Laplace para a temperatura .

Passo 6

Agora, precisamos expressar o operador Laplaciano nabla^2 T = 1rpartialpartial r(r partial Tpartial r) + 1r^2partial^2 Tpartial theta^2 + partial^2 Tpartial z^2 em coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, o Laplaciano de uma função é dado por:

Passo 7

Como estamos considerando um problema bidimensional e permanente, não há variação na direção partial^2 Tpartial theta^2 = 0 . Portanto, a derivada em relação a nabla^2 T = 1rpartialpartial r(r partial Tpartial r) + partial^2 Tpartial z^2 é zero:
Assim, o Laplaciano simplifica para:

Passo 8

Substituindo de volta na equação de Laplace, temos:
1rpartialpartial r(r partial Tpartial r) + partial^2 Tpartial z^2 = 0

Resposta

A equação de condução de calor bidimensional permanente em coordenadas cilíndricas para 1r partialpartial r(r partial Tpartial r) + partial^2 Tpartial z^2 = 0 é:

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