A partir dos dados expressos na tabela abaixo, na qual temos uma relação entre x e y, ajuste uma curva y = b0 + b1x + b2x² que os ajuste os pontos. xi 2 3 5 7 yi 2 1 9 8
a.y = -7,0427 + 4,4987x -0,3254x²
b.y = -6,0325 + 3,5948x -0,3254x²
c.y = -7,0427 + 3,5587x - 0,3802x²
d.y = -6,1256 + 4,6095x - 0,2798x²
e.y = 6,0325 + 3,5498x + 0,4587x²

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente ajustar uma curva quadrática do tipo $ y = b_0 + b_1x + b_2x^2 $ aos pontos da tabela fornecida. Isso significa que queremos encontrar os valores de $ b_0 $, $ b_1 $ e $ b_2 $ que melhor descrevem a relação entre $ x $ e $ y $ nos pontos dados. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor curva que se ajusta aos nossos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os pontos que temos:
|c|c| hline xi & yi hline 2 & 2 3 & 1 5 & 9 7 & 8 hline
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes $ b_0 $, $ b_1 $ e $ b_2 $ que satisfazem a equação quadrática para esses pontos. Para isso, vamos montar um sistema de equações baseado no método dos mínimos quadrados.

Passo 3

Vamos calcular algumas somas que vamos precisar:
n &= 4 (número de pontos) sum x &= 2 + 3 + 5 + 7 = 17 sum y &= 2 + 1 + 9 + 8 = 20 sum x^2 &= 2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 = 4 + 9 + 25 + 49 = 87 sum x^3 &= 2^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 = 8 + 27 + 125 + 343 = 503 sum x^4 &= 2^4 + 3^4 + 5^4 + 7^4 = 16 + 81 + 625 + 2401 = 3123 sum xy &= (2)(2) + (3)(1) + (5)(9) + (7)(8) = 4 + 3 + 45 + 56 = 108 sum x^2y &= (2^2)(2) + (3^2)(1) + (5^2)(9) + (7^2)(8) = 8 + 9 + 225 + 392 = 634 ú

Passo 4

Agora, vamos montar o sistema de equações baseado no método dos mínimos quadrados para uma curva quadrática:
b0 cdot n + b1 cdot sum x + b2 cdot sum x^2 = sum y b0 cdot sum x + b1 cdot sum x^2 + b2 cdot sum x^3 = sum xy b0 cdot sum x^2 + b1 cdot sum x^3 + b2 cdot sum x^4 = sum x^2y
Substituindo os valores que calculamos:
4b0 + 17b1 + 87b2 = 20 17b0 + 87b1 + 503b2 = 108 87b0 + 503b1 + 3123b2 = 634

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ b_0 $, $ b_1 $ e $ b_2 $. Uma maneira prática é usar o método de substituição ou eliminação. Para simplificar, vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Isolar $ b_0 $ na primeira equação:
b0
  1. Substituir $ b_0 $ nas segunda equação:
b1
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
b2 çã
  1. Substituir $ b_0 $ na terceira equação:
b0
Multiplicando tudo por 4:
4b0 = 20 - 17b1 - 87b2 b0 = 20 - 17b1 - 87b24 çã

Passo 6

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
59b1 + 533b2 = 92 (Equação A) 533b1 + 4923b2 = 796 (Equação B) çãçã
Vamos resolver esse sistema:
  1. Isolar $ b_1 $ na Equação A:
b1
  1. Substituir $ b_1 $ na Equação B:
59b1 = 92 - 533b2 b1 = 92 - 533b259
Multiplicando:
b1
Calculando os coeficientes:
533(92 - 533b259) + 4923b2 = 796
Substituindo:
533 times 9259 - 533 times 53359b2 + 4923b2 = 796
Simplificando:
533 times 9259 = 49,03659 approx 831.12 533 times 53359 = 284,08959 approx 4814.89

Passo 7

Agora que encontramos $ b_2 \approx -0.325 $, vamos encontrar $ b_1 $ usando a Equação A:
b2 approx -0.325
Por fim, vamos encontrar $ b_0 $ usando a expressão que encontramos anteriormente:
b1

Resposta

A equação que ajusta melhor os pontos é:
y = -7,0427 + 4,4987x -0,3254x² ²
Alternativa a.

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