A partir dos dados expressos na tabela abaixo, na qual temos uma relação entre x e y, ajuste uma curva y = b0 + b1x + b2x² que os ajuste os pontos. xi 2 3 5 7 yi 2 1 9 8
a.y = -7,0427 + 4,4987x -0,3254x²
b.y = -6,0325 + 3,5948x -0,3254x²
c.y = -7,0427 + 3,5587x - 0,3802x²
d.y = -6,1256 + 4,6095x - 0,2798x²
e.y = 6,0325 + 3,5498x + 0,4587x²
a.y = -7,0427 + 4,4987x -0,3254x²
b.y = -6,0325 + 3,5948x -0,3254x²
c.y = -7,0427 + 3,5587x - 0,3802x²
d.y = -6,1256 + 4,6095x - 0,2798x²
e.y = 6,0325 + 3,5498x + 0,4587x²
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente ajustar uma curva quadrática do tipo $ y = b_0 + b_1x + b_2x^2 $ aos pontos da tabela fornecida. Isso significa que queremos encontrar os valores de $ b_0 $, $ b_1 $ e $ b_2 $ que melhor descrevem a relação entre $ x $ e $ y $ nos pontos dados. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor curva que se ajusta aos nossos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os pontos que temos:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes $ b_0 $, $ b_1 $ e $ b_2 $ que satisfazem a equação quadrática para esses pontos. Para isso, vamos montar um sistema de equações baseado no método dos mínimos quadrados.
Passo 3
Vamos calcular algumas somas que vamos precisar:
Passo 4
Agora, vamos montar o sistema de equações baseado no método dos mínimos quadrados para uma curva quadrática:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ b_0 $, $ b_1 $ e $ b_2 $. Uma maneira prática é usar o método de substituição ou eliminação. Para simplificar, vamos resolver o sistema passo a passo:
- Isolar $ b_0 $ na primeira equação:
- Substituir $ b_0 $ nas segunda equação:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
- Substituir $ b_0 $ na terceira equação:
Multiplicando tudo por 4:
Passo 6
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema:
- Isolar $ b_1 $ na Equação A:
- Substituir $ b_1 $ na Equação B:
Multiplicando:
Calculando os coeficientes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Agora que encontramos $ b_2 \approx -0.325 $, vamos encontrar $ b_1 $ usando a Equação A:
Por fim, vamos encontrar $ b_0 $ usando a expressão que encontramos anteriormente:
Resposta
A equação que ajusta melhor os pontos é:
Alternativa a.