Um pedaço de gelo desliza sobre um plano inclinado rugoso de 35^circ com a horizontal, gastando o dobro do tempo que ele necessitaria para descer um plano inclinado idêntico só que sem atrito. (a) Encontre as expressões para a aceleração nos dois casos. (b) Qual é o coeficiente de atrito cinético entre o plano inclinado e o gelo? © Supondo que ele percorre 2,0 m, calcule o tempo que ele leva para escorregar ao longo do plano inclinado com atrito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um pedaço de gelo que desliza por um plano inclinado de 35^circ com atrito e outro sem atrito. Nosso objetivo é:
(a) Encontrar as expressões para a aceleração nos dois casos;
(b) Determinar o coeficiente de atrito cinético entre o plano e o gelo;
© Calcular o tempo que o gelo leva para deslizar 2,0 m no plano inclinado com atrito.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de Física como as forças atuantes em planos inclinados e as equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no caso sem atrito. Quando não há atrito, a única força que faz o gelo acelerar para baixo é a componente da gravidade ao longo do plano inclinado.
A aceleração asem atrito = g cdot sin(theta) pode ser calculada usando a fórmula:
35^circ
Onde:
  • é a aceleração da gravidade ( );
  • é o ângulo do plano inclinado ( ).

Passo 3

Agora, vamos considerar o caso com atrito. Além da componente da gravidade, há a força de atrito que age contra o movimento do gelo.
A aceleração acom atrito = g cdot sin(theta) - muk cdot g cdot cos(theta) é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente de atrito cinético;
  • As demais variáveis são as mesmas do passo anterior.

Passo 4

O enunciado nos diz que o tempo para descer com atrito é o dobro do tempo sem atrito. Vamos relacionar os tempos com as acelerações usando a equação do movimento:
d = 12 a t^2
Onde:
  • 2,0 m é a distância percorrida ( 2,0 = 12 asem atrito tsem atrito^2 );
  • 2,0 = 12 acom atrito tcom atrito^2 é o tempo.
Para o caso sem atrito:
E para o caso com atrito:
Sabemos que .

Passo 5

Vamos substituir 2,0 = 12 acom atrito (2 tsem atrito)^2 na equação com atrito:
2,0 = 12 acom atrito cdot 4 tsem atrito^2
Simplificando:
2,0 = 2 acom atrito tsem atrito^2
acom atrito tsem atrito^2 = 1,0
asem atrito tsem atrito^2 = 4,0
Do passo 4, sabemos que (multiplicando ambos os lados por 2):

Passo 6

Dividindo as duas equações:
acom atrito tsem atrito^2asem atrito tsem atrito^2 = 1,04,0
acom atritoasem atrito = 14
acom atrito = 14 asem atrito

Passo 7

Agora, substituímos acom atrito = 14 g cdot sin(theta) na equação acima:
acom atrito = g cdot sin(theta) - muk cdot g cdot cos(theta)
Mas também sabemos que:
14 g cdot sin(theta) = g cdot sin(theta) - muk cdot g cdot cos(theta)
Igualando as duas expressões:

Passo 8

Podemos cancelar 14 sin(theta) = sin(theta) - muk cos(theta) de ambos os lados:
muk cos(theta) = sin(theta) - 14 sin(theta) = 34 sin(theta)
Isolando muk = 34 sin(theta)cos(theta) = 34 tan(theta) :

Passo 9

Substituindo muk = 34 tan(35^circ) :
muk approx 34 times 0,7002 approx 0,5251

Resposta

(a) As acelerações são:
asem atrito = g cdot sin(35^circ) approx 9,8 times 0,5736 approx 5,63 , m/s^2
acom atrito = 14 g cdot sin(35^circ) approx 1,41 , m/s^2
(b) O coeficiente de atrito cinético é aproximadamente 2,0 = 12 times 1,41 times t^2 .
© Usando a equação t^2 = 4,01,41 approx 2,84 com t approx raiz2,84 approx 1,69 , s e :

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