Um pedaço de gelo desliza sobre um plano inclinado rugoso de a horizontal, gastando o dobro do tempo que ele necessitaria para descer um plano inclinado idêntico só que sem atrito. (a) Encontre as expressões para a aceleração nos dois casos. (b) Qual é o coeficiente de atrito cinético entre o plano inclinado e o gelo? © Supondo que ele percorre , calcule o tempo que ele leva para escorregar ao longo do plano inclinado com atrito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um pedaço de gelo que desliza por um plano inclinado de com atrito e outro sem atrito. Nosso objetivo é:
(a) Encontrar as expressões para a aceleração nos dois casos;
(b) Determinar o coeficiente de atrito cinético entre o plano e o gelo;
© Calcular o tempo que o gelo leva para deslizar no plano inclinado com atrito.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de Física como as forças atuantes em planos inclinados e as equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no caso sem atrito. Quando não há atrito, a única força que faz o gelo acelerar para baixo é a componente da gravidade ao longo do plano inclinado.
A aceleração pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade ( );
  • é o ângulo do plano inclinado ( ).

Passo 3

Agora, vamos considerar o caso com atrito. Além da componente da gravidade, há a força de atrito que age contra o movimento do gelo.
A aceleração é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente de atrito cinético;
  • As demais variáveis são as mesmas do passo anterior.

Passo 4

O enunciado nos diz que o tempo para descer com atrito é o dobro do tempo sem atrito. Vamos relacionar os tempos com as acelerações usando a equação do movimento:
Onde:
  • é a distância percorrida ( );
  • é o tempo.
Para o caso sem atrito:
E para o caso com atrito:
Sabemos que .

Passo 5

Vamos substituir na equação com atrito:
Simplificando:
Do passo 4, sabemos que (multiplicando ambos os lados por 2):

Passo 6

Dividindo as duas equações:

Passo 7

Agora, substituímos na equação acima:
Mas também sabemos que:
Igualando as duas expressões:

Passo 8

Podemos cancelar de ambos os lados:
Isolando :

Passo 9

Substituindo :

Resposta

(a) As acelerações são:
(b) O coeficiente de atrito cinético é aproximadamente .
© Usando a equação com e :

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