Uma pedra é lançada verticalmente para cima. Durante a subida, passa por um ponto A com velocidade v e por um ponto B, 3,00 m acima de A, com velocidade v/2. Calcule
(a) a velocidade v e
(b) a altura máxima alcançada pela pedra acima do ponto B.
(a) a velocidade v e
(b) a altura máxima alcançada pela pedra acima do ponto B.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente está lidando com movimento verticalmente para cima, usando conceitos de cinemática. Precisamos encontrar a velocidade inicial $ v $ da pedra quando ela passa pelo ponto A e também a altura máxima que ela alcança acima do ponto B. Para isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente variado (MUV), considerando a aceleração da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece entre os pontos A e B. A pedra está subindo, e ao passar pelo ponto A tem velocidade $ v $, e no ponto B, que está 3,00 m acima de A, a velocidade diminui para $ \frac{v}{2} $.
A aceleração aqui é a da gravidade, $ a = -g $ (o sinal negativo indica que a gravidade está atuando contra o movimento da pedra). A gente pode usar a seguinte equação do MUV que relaciona velocidades, aceleração e distância:
onde:
- $ v_f $ é a velocidade final,
- $ v_i $ é a velocidade inicial,
- $ a $ é a aceleração,
- $ \Delta s $ é o deslocamento.
Passo 3
Vamos aplicar essa equação entre os pontos A e B. Aqui:
- $ v_i = v $ (velocidade no ponto A),
- $ v_f = \frac{v}{2} $ (velocidade no ponto B),
- $ \Delta s = 3,00 , m $,
- $ a = -g $.
Substituindo na equação:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar $ v $. Primeiro, expandimos:
Agora, vamos levar todos os termos com $ v^2 $ para um lado:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Agora, isolamos $ v^2 $:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor numérico de $ v $. Sabemos que $ g \approx 9,8 , m/s^2 $, então:
Passo 6
Agora que temos o valor de $ v $, vamos encontrar a altura máxima acima do ponto B. No ponto B, a velocidade é $ \frac{v}{2} $. No ponto mais alto, a velocidade será 0. Vamos usar novamente a equação do MUV:
Aqui:
- $ v_f = 0 $,
- $ v_i = \frac{v}{2} $,
- $ a = -g $,
- $ \Delta s $ é a altura que queremos encontrar acima de B.
Substituindo:
Passo 7
Resolvendo para $ \Delta s $:
Substituindo $ v^2 = 8g $:
Resposta
(a) A velocidade $ v $ é aproximadamente 8,86 m/s.
(b) A altura máxima alcançada pela pedra acima do ponto B é de 1,00 m.