Um pêndulo simples é composto por uma esfera (massa 2 kg) fixa por um fio inextensível de comprimento L= 5 m. Supondo que a esfera elevada a uma altura h com relação à situação de repouso, com o fio esticado, e formando um ângulo com a vertical de ângulo 0 = 35º, quando a esfera passa pelo ponto mais baixo da trajetória
(a) qual é a velocidade da esfera
(b) qual é o trabalho realizado pela força gravitacional
© O que aconteceria com a velocidade e com a energia mecânica se a massa aumentasse?
(d) O que aconteceria com a velocidade se houvesse atrito no ponto de sustentação e fosse considerado a resistência do ar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um pêndulo simples com uma esfera de 2 kg presa por um fio de 5 metros. A esfera é levantada até formar um ângulo de 35º com a vertical e depois é solta. Vamos usar conceitos de energia mecânica, conservação de energia, trabalho e um pouco de dinâmica para resolver os itens (a) a (d).

Passo 2

(a) Qual é a velocidade da esfera no ponto mais baixo?
Primeiro, a gente sabe que no ponto mais alto, a esfera tem energia potencial gravitacional e nenhuma energia cinética (porque está apenas sendo solta). No ponto mais baixo, toda essa energia se transforma em energia cinética.
A energia potencial no ponto mais alto é dada por:
Ep = mgh
Onde:
- $ m = 2 , kg $ (massa)
- $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
- $ h $ é a altura.
Precisamos encontrar $ h $. Sabemos que:
m = 2 , kg
g = 9,8 , m/s^2 º
Calculando $ \cos(35º) \approx 0,8192 $:
h
h
h = L - L cos(theta)
Agora, a energia potencial:
h = 5 , m - 5 cos(35º)
cos(35º) approx 0,8192
Essa energia se transforma em energia cinética no ponto mais baixo:
h = 5 - 5 times 0,8192
Igualando as energias:
h approx 5 - 4,096
h approx 0,904 , m
Ep = 2 times 9,8 times 0,904
Ep approx 17,728 , J

Passo 3

(b) Qual é o trabalho realizado pela força gravitacional?
O trabalho realizado pela força gravitacional é igual à variação da energia potencial, já que a esfera está descendo.
Como a energia potencial inicial era $ 17,728 , J $ e no ponto mais baixo a energia potencial é zero:
17,728 , J
W = De
W = 0 - 17,728
O sinal negativo indica que a força gravitacional está realizando trabalho na direção do movimento da esfera.

Passo 4

© O que aconteceria com a velocidade e com a energia mecânica se a massa aumentasse?
Se a massa aumentasse, vamos ver o efeito na velocidade e na energia mecânica.
  • Velocidade ($ v $): Da equação $ E_k = \frac{1}{2}mv^2 $, se a energia cinética aumenta proporcionalmente ao aumento da massa (já que a energia potencial $ E_p = mgh $ também aumenta), a velocidade $ v $ permanece a mesma.
  • Energia Mecânica: A energia mecânica total é a soma da energia potencial e cinética. Se a massa aumenta, ambas as energias aumentam proporcionalmente, então a energia mecânica total aumenta.

Passo 5

(d) O que aconteceria com a velocidade se houvesse atrito no ponto de sustentação e fosse considerada a resistência do ar?
Se houver atrito e resistência do ar, parte da energia mecânica é dissipada como calor. Isso significa que nem toda a energia potencial se transforma em energia cinética.
  • Velocidade ($ v $): A velocidade da esfera no ponto mais baixo seria menor, já que parte da energia foi perdida devido ao atrito e à resistência do ar.
  • Energia Mecânica: A energia mecânica total do sistema diminuiria ao longo do tempo, pois está sendo dissipada para o ambiente.

Resposta

(a) A velocidade da esfera no ponto mais baixo é aproximadamente 4,21 m/s.
(b) O trabalho realizado pela força gravitacional é -17,728 J.
© Se a massa aumentasse, a velocidade permaneceria a mesma e a energia mecânica total aumentaria.
(d) Com atrito e resistência do ar, a velocidade da esfera no ponto mais baixo diminuiria e a energia mecânica total do sistema seria reduzida.

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