Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) = -x² + 12x - 20, onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo. Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a:
(a) 4
(b) 6
© 9
(d) 10
(e) 14

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que representa o lucro da fábrica de bonés: $ L(x) = -x^2 + 12x - 20 $. Aqui, $ x $ é a quantidade de bonés que vão dentro de cada pacote. O objetivo é descobrir qual a quantidade de bonés por pacote que vai fazer a fábrica ter o maior lucro possível. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a função $ L(x) = -x^2 + 12x - 20 $ é uma função quadrática, que tem a forma geral $ f(x) = ax^2 + bx + c $. No nosso caso, $ a = -1 $, $ b = 12 $ e $ c = -20 $. Como o coeficiente de $ x^2 $ é negativo ($ a = -1 $), sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo. Isso significa que a função tem um ponto de máximo.

Passo 3

Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza o lucro, usamos a fórmula do vértice da parábola. O vértice de uma função quadrática $ f(x) = ax^2 + bx + c $ está no ponto $ x = -\frac{b}{2a} $.
Vamos aplicar isso na nossa função:
x
Então, $ x = 6 $.

Resposta

A quantidade de bonés que cada pacote deve conter para obter o lucro máximo é 6 bonés. A alternativa correta é a (b) 6.

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