Uma pequena usina geradora industrial alimenta 10 kW de aquecedores e 20 kVA de motores de indução. Os elementos de aquecimento são considerados puramente resistivos ( F P=1 ), e os motores possuem um fator de potência atrasado igual a 0,7. Se a fonte é de 1.000 V e 60 Hz , determine a capacitância necessária para aumentar o fator de potência para 0,95 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de fator de potência juntos! Temos uma usina que alimenta aquecedores e motores de indução. Nosso objetivo é descobrir qual a capacitância necessária para melhorar o fator de potência de 0,7 para 0,95. Vamos precisar de conceitos de potência ativa, reativa e como o fator de potência se relaciona com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a potência ativa total que a usina está fornecendo. Sabemos que os aquecedores consomem 10 kW e os motores têm uma potência aparente de 20 kVA com um fator de potência de 0,7. A potência ativa dos motores é dada por:
Pmotores = S times FP = 20,kVA times 0,7 = 14,kW
Então, a potência ativa total é:
Ptotal = 10,kW + 14,kW = 24,kW

Passo 3

Agora, vamos calcular a potência reativa total antes da correção. Os aquecedores são puramente resistivos, então não têm potência reativa. Apenas os motores contribuem para a potência reativa. A potência reativa dos motores é:
Qmotores = raizS^2 - P^2 = raiz20^2 - 14^2 = raiz400 - 196 = raiz204 approx 14,28,kVAR
Então, a potência reativa total antes da correção é aproximadamente 14,28 kVAR.

Passo 4

Queremos melhorar o fator de potência para 0,95. Para isso, precisamos determinar qual será a nova potência reativa após a correção. A fórmula para a potência reativa com o novo fator de potência é:
Qnovo = Ptotal times sin(arccos(FPnovo))1
Primeiro, calculamos o ângulo:
cos^-1(0,95) approx 18,19^circ
Então,
sin(18,19^circ) approx 0,312
Portanto,
Qnovo = 24,kW times 0,312 approx 7,49,kVAR

Passo 5

A potência reativa que precisamos compensar com a capacitância é a diferença entre a potência reativa atual e a desejada:
Qcomp = Qantigo - Qnovo = 14,28,kVAR - 7,49,kVAR = 6,79,kVAR

Passo 6

Agora, vamos calcular a capacitância necessária para fornecer esses 6,79 kVAR de potência reativa. A fórmula que relaciona a potência reativa com a capacitância é:
Q = V^2 times 2pi f C
Rearranjando para encontrar C = QV^2 times 2pi f :
C = 6790(1000)^2 times 2 times pi times 60
Substituindo os valores:
C = 67901,000,000 times 376,99
C approx 6790376,990,000
C approx 1,8 times 10^-5,F
C approx 18,muF

Resposta

A capacitância necessária para aumentar o fator de potência para 0,95 é de aproximadamente 18 μF.

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