Um pequeno objeto com momento de dipolo
é colocado em um campo elétrico não uniforme
. Este é o campo na direção
e sua magnitude depende somente da coordenada
. Sendo
o ângulo entre o momento de dipolo e a direção x. Prove que a força líquida sobre o dipolo, agindo na direção de incremento do campo é:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um objeto pequenino com um momento de dipolo elétrico, representado por
, colocado em um campo elétrico que não é uniforme, ou seja, a intensidade do campo
varia conforme a posição
. O campo está na direção
e sua magnitude depende só de
. Queremos provar que a força resultante sobre o dipolo nessa situação é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de dipolo elétrico, campo elétrico não uniforme e como calcular a força sobre o dipolo nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um momento de dipolo elétrico. O momento de dipolo
é um vetor que aponta da carga negativa para a positiva e tem magnitude igual ao produto da carga pela distância entre elas:
Aqui,
é a carga e
é a distância entre as cargas.
Passo 3
Agora, vamos considerar o campo elétrico
que está na direção
e varia com
. Isso significa que a intensidade do campo elétrico muda conforme a posição ao longo do eixo
. Podemos escrever o campo como:
onde
é o vetor unitário na direção
.
Passo 4
Quando um dipolo está em um campo elétrico não uniforme, ele experimenta uma força resultante. A força sobre o dipolo pode ser calculada usando a seguinte expressão:
Isso significa que a força é o produto escalar do momento de dipolo com o gradiente do campo elétrico.
Passo 5
Vamos detalhar
. Primeiro, expressamos o momento de dipolo em termos de suas componentes. Se
é o ângulo entre
e a direção
, então:
onde
é a magnitude do momento de dipolo.
Passo 6
Agora, aplicamos o operador gradiente
ao campo elétrico
. Como
só varia com
:
Passo 7
Fazemos o produto escalar entre
e
:
Como o produto escalar entre vetores ortogonais (
) é zero, sobra apenas:
Resposta
A força líquida sobre o dipolo é: