Um pequeno objeto com momento de dipolo p é colocado em um campo elétrico não uniforme E=E(x) imath. Este é o campo na direção x e sua magnitude depende somente da coordenada x. Sendo theta o ângulo entre o momento de dipolo e a direção x. Prove que a força líquida sobre o dipolo, agindo na direção de incremento do campo é: F= p(d E / d x) cos theta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um objeto pequenino com um momento de dipolo elétrico, representado por p, colocado em um campo elétrico que não é uniforme, ou seja, a intensidade do campo E varia conforme a posição x. O campo está na direção x e sua magnitude depende só de x. Queremos provar que a força resultante sobre o dipolo nessa situação é dada por:
F = p ( dEdx ) cos theta
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de dipolo elétrico, campo elétrico não uniforme e como calcular a força sobre o dipolo nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um momento de dipolo elétrico. O momento de dipolo p é um vetor que aponta da carga negativa para a positiva e tem magnitude igual ao produto da carga pela distância entre elas:
p = q cdot d
Aqui, q é a carga e d é a distância entre as cargas.

Passo 3

Agora, vamos considerar o campo elétrico E que está na direção x e varia com x. Isso significa que a intensidade do campo elétrico muda conforme a posição ao longo do eixo x. Podemos escrever o campo como:
E = E(x) imath
onde imath é o vetor unitário na direção x.

Passo 4

Quando um dipolo está em um campo elétrico não uniforme, ele experimenta uma força resultante. A força sobre o dipolo pode ser calculada usando a seguinte expressão:
F = (p cdot nabla) E
Isso significa que a força é o produto escalar do momento de dipolo com o gradiente do campo elétrico.

Passo 5

Vamos detalhar (p cdot nabla) E. Primeiro, expressamos o momento de dipolo em termos de suas componentes. Se theta é o ângulo entre p e a direção x, então:
p = p cos theta imath + p sin theta jmath
onde p é a magnitude do momento de dipolo.

Passo 6

Agora, aplicamos o operador gradiente nabla ao campo elétrico E. Como E só varia com x:
nabla E = dEdx imath

Passo 7

Fazemos o produto escalar entre p e nabla E:
F = (p cos theta imath + p sin theta jmath) cdot ( dEdx imath )
Como o produto escalar entre vetores ortogonais ( imath cdot jmath = 0) é zero, sobra apenas:
F = p cos theta cdot dEdx

Resposta

A força líquida sobre o dipolo é:
F = p ( dEdx ) cos theta

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