Responda as questões abaixo:
e. Considerando a Terra como um grande capacitor, mostre que sua capacitância depende apenas do seu raio e da constante dielétrica.
e. Considerando a Terra como um grande capacitor, mostre que sua capacitância depende apenas do seu raio e da constante dielétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente imaginar a Terra como um capacitor gigante e mostrar que a capacitância dela depende apenas do raio da Terra e da constante dielétrica. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que é capacitância, como calcular a capacitância de uma esfera e o que é constante dielétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. Capacitância é uma medida de quanto de carga elétrica um capacitor consegue armazenar por unidade de potencial. A fórmula básica da capacitância $ C $ é:
onde $ Q $ é a carga elétrica e $ V $ é a diferença de potencial.
Passo 3
Agora, vamos considerar a Terra como uma esfera carregada. A capacitância de uma esfera isolada no vácuo é dada por:
Aqui, $ R $ é o raio da esfera (no caso, o raio da Terra) e $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, uma constante que mede a capacidade do espaço de permitir a passagem de campos elétricos.
Passo 4
Mas a Terra não está no vácuo, certo? Ela está rodeada por uma atmosfera e outros materiais que podem ter uma constante dielétrica $ \kappa $. Quando temos um material dielétrico, a capacitância aumenta e a fórmula fica:
onde $ \varepsilon = \kappa \varepsilon_0 $. Assim, a constante dielétrica $ \kappa $ multiplica a permissividade do vácuo para levar em conta o material ao redor.
Passo 5
Então, juntando tudo, vemos que a capacitância da Terra depende diretamente do raio $ R $ e da constante dielétrica $ \kappa $. Não aparece nenhuma outra variável na fórmula, o que confirma que a capacitância realmente depende apenas dessas duas coisas.
Resposta
A capacitância da Terra, considerada como um grande capacitor, depende somente do seu raio $ R $ e da constante dielétrica $ \kappa $, estando dada por: