Um pequeno objeto move-se em linha reta e sua equação de posição em metros é dada por: X(t)=10+10t-5t^2. “t” representa o tempo medido em segundos. A velocidade desse objeto no instante t=4, os vale:
a) -30 m/s
b) 72 km/h
c) -20 m/s
d) 50 km/h

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um objeto que se move em linha reta e nos dá a equação da posição dele em função do tempo: $ X(t) = 10 + 10t - 5t^2 $. O que a gente precisa descobrir é qual é a velocidade desse objeto no instante $ t = 4 $ segundos. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de cinemática, especificamente com a relação entre posição e velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade de um objeto é a taxa de variação da sua posição em relação ao tempo. Em outras palavras, a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Se $ X(t) $ é a posição, então a velocidade $ V(t) $ é dada por:
X(t)
Isso significa que vamos derivar a função $ X(t) $ para encontrar $ V(t) $.

Passo 3

Vamos derivar a função $ X(t) = 10 + 10t - 5t^2 $:
  • A derivada de uma constante, como 10, é 0.
  • A derivada de $ 10t $ é 10.
  • A derivada de $ -5t^2 $ é $ -10t $ (usando a regra do expoente: trazemos o expoente para a frente e diminuímos o expoente em 1).
Então, a derivada fica:
X(t) = 10 + 10t - 5t^2
Simplificando:
10t

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos substituir $ t = 4 $ segundos:
t = 4
V(4) = 10 - 10 times 4
V(4) = 10 - 40

Resposta

A velocidade do objeto no instante $ t = 4 $ segundos é -30 m/s. Portanto, a opção correta é a alternativa a) -30 m/s.

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